Номер 994, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 994, страница 196.

Условие.

994. Найдите значение выражения:

а) $(3n - 1)(n + 1) + (2n - 1)(n - 1) - (3n + 5)(n - 2)$ при $n = -3,5$;

б) $(5y - 1)(2 - y) - (3y + 4)(1 - y) + (2y + 6)(y - 3)$ при $y = 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы найти значение выражения при $n = -3,5$, сначала упростим его. Для этого раскроем скобки, последовательно перемножая многочлены.

1. Раскроем первую пару скобок:

$(3n - 1)(n + 1) = 3n \cdot n + 3n \cdot 1 - 1 \cdot n - 1 \cdot 1 = 3n^2 + 3n - n - 1 = 3n^2 + 2n - 1$

2. Раскроем вторую пару скобок:

$(2n - 1)(n - 1) = 2n \cdot n + 2n \cdot (-1) - 1 \cdot n - 1 \cdot (-1) = 2n^2 - 2n - n + 1 = 2n^2 - 3n + 1$

3. Раскроем третью пару скобок:

$(3n + 5)(n - 2) = 3n \cdot n + 3n \cdot (-2) + 5 \cdot n + 5 \cdot (-2) = 3n^2 - 6n + 5n - 10 = 3n^2 - n - 10$

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(3n^2 + 2n - 1) + (2n^2 - 3n + 1) - (3n^2 - n - 10)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3n^2 + 2n - 1 + 2n^2 - 3n + 1 - 3n^2 + n + 10$

Сгруппируем слагаемые с одинаковой степенью $n$:

$(3n^2 + 2n^2 - 3n^2) + (2n - 3n + n) + (-1 + 1 + 10) = 2n^2 + 0 \cdot n + 10 = 2n^2 + 10$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $n = -3,5$:

$2 \cdot (-3,5)^2 + 10 = 2 \cdot 12,25 + 10 = 24,5 + 10 = 34,5$

Ответ: $34,5$.

б) Чтобы найти значение выражения при $y = 4$, сначала упростим его. Для этого раскроем скобки, последовательно перемножая многочлены.

1. Раскроем первую пару скобок:

$(5y - 1)(2 - y) = 5y \cdot 2 + 5y \cdot (-y) - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-y) = 10y - 5y^2 - 2 + y = -5y^2 + 11y - 2$

2. Раскроем вторую пару скобок:

$(3y + 4)(1 - y) = 3y \cdot 1 + 3y \cdot (-y) + 4 \cdot 1 + 4 \cdot (-y) = 3y - 3y^2 + 4 - 4y = -3y^2 - y + 4$

3. Раскроем третью пару скобок. Обратим внимание, что $(2y+6) = 2(y+3)$, тогда выражение $(2y+6)(y-3)$ можно представить как $2(y+3)(y-3)$, что является формулой разности квадратов:

$(2y + 6)(y - 3) = 2(y+3)(y-3) = 2(y^2 - 3^2) = 2(y^2 - 9) = 2y^2 - 18$

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(-5y^2 + 11y - 2) - (-3y^2 - y + 4) + (2y^2 - 18)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$-5y^2 + 11y - 2 + 3y^2 + y - 4 + 2y^2 - 18$

Сгруппируем слагаемые с одинаковой степенью $y$:

$(-5y^2 + 3y^2 + 2y^2) + (11y + y) + (-2 - 4 - 18) = 0 \cdot y^2 + 12y - 24 = 12y - 24$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $y = 4$:

$12 \cdot 4 - 24 = 48 - 24 = 24$

Ответ: $24$.