Номер 996, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 996, страница 196.

Условие.

996. Докажите тождество

$(a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2) = (ac + bd)(ad + bc)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части, чтобы показать, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразование левой части

Рассмотрим левую часть тождества:

$(a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)$

Сначала раскроем скобки в первом произведении:

$(a^2 + b^2)(ab + cd) = a^2 \cdot ab + a^2 \cdot cd + b^2 \cdot ab + b^2 \cdot cd = a^3b + a^2cd + ab^3 + b^2cd$

Теперь раскроем скобки во втором члене выражения:

$-ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2) = -ab \cdot a^2 - ab \cdot b^2 - ab \cdot (-c^2) - ab \cdot (-d^2) = -a^3b - ab^3 + abc^2 + abd^2$

Сложим полученные результаты:

$(a^3b + a^2cd + ab^3 + b^2cd) + (-a^3b - ab^3 + abc^2 + abd^2)$

Приведем подобные слагаемые. Члены $a^3b$ и $-a^3b$, а также $ab^3$ и $-ab^3$ взаимно уничтожаются:

$(a^3b - a^3b) + (ab^3 - ab^3) + a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2 = a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$

Итак, левая часть равна $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$.

Преобразование правой части

Рассмотрим правую часть тождества:

$(ac + bd)(ad + bc)$

Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$ac \cdot ad + ac \cdot bc + bd \cdot ad + bd \cdot bc = a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd$

Итак, правая часть равна $a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd$.

Сравнение частей

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они состоят из одних и тех же слагаемых, отличаясь лишь их порядком:

Левая часть: $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$

Правая часть: $a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd$

Поскольку от перестановки слагаемых сумма не меняется, левая часть равна правой. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.