Номер 999, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 999, страница 196.

Условие.

999. Упростите:

а) $2(a^2 - 1)^2 - (a^2 + 3)(a^2 - 3) - \frac{1}{2}(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3);$

б) $4(m^3 - 3)^2 - (m^2 - 6)(m^2 + 6) - 9(8 - m + m^2)(1 - m).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $2(a^2 - 1)^2 - (a^2 + 3)(a^2 - 3) - \frac{1}{2}(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3)$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть все скобки, используя формулы сокращенного умножения и правило умножения многочленов, а затем привести подобные слагаемые.

1. Упростим первое слагаемое $2(a^2 - 1)^2$, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$2(a^2 - 1)^2 = 2((a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2) = 2(a^4 - 2a^2 + 1) = 2a^4 - 4a^2 + 2$.

2. Упростим второе слагаемое $-(a^2 + 3)(a^2 - 3)$, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$-(a^2 + 3)(a^2 - 3) = -((a^2)^2 - 3^2) = -(a^4 - 9) = -a^4 + 9$.

3. Упростим третье слагаемое $-\frac{1}{2}(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3)$. Сначала перемножим многочлены:

$(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3) = a^2(2a^2 + 3) + a(2a^2 + 3) - 4(2a^2 + 3) = 2a^4 + 3a^2 + 2a^3 + 3a - 8a^2 - 12$.

Приведем подобные члены в полученном выражении:

$2a^4 + 2a^3 + (3a^2 - 8a^2) + 3a - 12 = 2a^4 + 2a^3 - 5a^2 + 3a - 12$.

Теперь умножим результат на $-\frac{1}{2}$:

$-\frac{1}{2}(2a^4 + 2a^3 - 5a^2 + 3a - 12) = -a^4 - a^3 + \frac{5}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 6$.

4. Сложим все полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(2a^4 - 4a^2 + 2) + (-a^4 + 9) + (-a^4 - a^3 + \frac{5}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 6) = $

$= (2a^4 - a^4 - a^4) - a^3 + (-4a^2 + \frac{5}{2}a^2) - \frac{3}{2}a + (2 + 9 + 6) = $

$= 0 \cdot a^4 - a^3 + (-\frac{8}{2}a^2 + \frac{5}{2}a^2) - \frac{3}{2}a + 17 = -a^3 - \frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 17$.

Ответ: $-a^3 - \frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 17$.

б) $4(m^3 - 3)^2 - (m^2 - 6)(m^2 + 6) - 9(8 - m + m^2)(1 - m)$

Упростим выражение по частям, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

1. Упростим первое слагаемое $4(m^3 - 3)^2$, используя формулу квадрата разности:

$4(m^3 - 3)^2 = 4((m^3)^2 - 2 \cdot m^3 \cdot 3 + 3^2) = 4(m^6 - 6m^3 + 9) = 4m^6 - 24m^3 + 36$.

2. Упростим второе слагаемое $-(m^2 - 6)(m^2 + 6)$, используя формулу разности квадратов:

$-(m^2 - 6)(m^2 + 6) = -((m^2)^2 - 6^2) = -(m^4 - 36) = -m^4 + 36$.

3. Упростим третье слагаемое $-9(8 - m + m^2)(1 - m)$. Сначала перемножим многочлены, для удобства записав их в стандартном виде $(m^2 - m + 8)(1 - m)$:

$(m^2 - m + 8)(1 - m) = m^2(1) + m^2(-m) - m(1) - m(-m) + 8(1) + 8(-m) = m^2 - m^3 - m + m^2 + 8 - 8m$.

Приведем подобные члены:

$-m^3 + (m^2 + m^2) + (-m - 8m) + 8 = -m^3 + 2m^2 - 9m + 8$.

Теперь умножим результат на $-9$:

$-9(-m^3 + 2m^2 - 9m + 8) = 9m^3 - 18m^2 + 81m - 72$.

4. Сложим все полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(4m^6 - 24m^3 + 36) + (-m^4 + 36) + (9m^3 - 18m^2 + 81m - 72) = $

$= 4m^6 - m^4 + (-24m^3 + 9m^3) - 18m^2 + 81m + (36 + 36 - 72) = $

$= 4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m + 0 = 4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m$.

Ответ: $4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m$.