Номер 1004, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1004, страница 196.

Условие.

1004. В книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется тождество

$(p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2) = (pr + cqs)^2 + c(ps - qr)^2.$

Докажите его.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства данного тождества необходимо показать, что его левая и правая части равны. Для этого выполним преобразования обеих частей по отдельности.

Преобразование левой части

Раскроем скобки в выражении $(p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2)$, выполнив умножение многочленов:

$(p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2) = p^2 \cdot r^2 + p^2 \cdot cs^2 + cq^2 \cdot r^2 + cq^2 \cdot cs^2 = p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Преобразование правой части

Раскроем скобки в выражении $(pr + cqs)^2 + c(ps - qr)^2$, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сначала раскроем первое слагаемое:

$(pr + cqs)^2 = (pr)^2 + 2(pr)(cqs) + (cqs)^2 = p^2r^2 + 2cpqrs + c^2q^2s^2$.

Теперь раскроем второе слагаемое:

$c(ps - qr)^2 = c((ps)^2 - 2(ps)(qr) + (qr)^2) = c(p^2s^2 - 2pqrs + q^2r^2) = cp^2s^2 - 2cpqrs + cq^2r^2$.

Сложим полученные выражения, чтобы найти правую часть:

$(p^2r^2 + 2cpqrs + c^2q^2s^2) + (cp^2s^2 - 2cpqrs + cq^2r^2)$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $2cpqrs$ и $-2cpqrs$ взаимно уничтожаются:

$p^2r^2 + c^2q^2s^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2$.

Для удобства сравнения сгруппируем слагаемые в том же порядке, что и в левой части:

$p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Заключение

Сравнивая результаты преобразований, мы видим, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению:

Левая часть: $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Правая часть: $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать. После алгебраических преобразований обе части равенства приводятся к одному и тому же виду: $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.