Номер 1006, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1006, страница 197.

Условие.

1006. При каком значении $b$ многочлен стандартного вида, тождест-венно равный произведению $(x^2 - 10x + 6)(2x + b):

а) не содержит $x^2$;

б) имеет равные коэффициенты при $x^3$ и при $x$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы найти значение $b$, сначала необходимо представить произведение многочленов в стандартном виде. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$(x^2 - 10x + 6)(2x + b) = x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot b - 10x \cdot 2x - 10x \cdot b + 6 \cdot 2x + 6 \cdot b$

$= 2x^3 + bx^2 - 20x^2 - 10bx + 12x + 6b$

Теперь сгруппируем члены с одинаковыми степенями переменной $x$:

$2x^3 + (b - 20)x^2 + (12 - 10b)x + 6b$

Это и есть многочлен в стандартном виде. Теперь, используя его, решим поставленные задачи.

а) не содержит $x^2$

Многочлен не содержит член $x^2$, если коэффициент при $x^2$ равен нулю. Коэффициент при $x^2$ в нашем многочлене равен $(b - 20)$.

Приравняем этот коэффициент к нулю:

$b - 20 = 0$

Отсюда находим $b$:

$b = 20$

Ответ: $b = 20$.

б) имеет равные коэффициенты при $x^3$ и при $x$?

Из стандартного вида многочлена $2x^3 + (b - 20)x^2 + (12 - 10b)x + 6b$ видим, что:

• коэффициент при $x^3$ равен $2$;
• коэффициент при $x$ равен $(12 - 10b)$.

По условию эти коэффициенты должны быть равны. Составим и решим уравнение:

$12 - 10b = 2$

Перенесем $10b$ в правую часть, а $2$ в левую:

$12 - 2 = 10b$

$10 = 10b$

Разделим обе части на $10$:

$b = 1$

Ответ: $b = 1$.