Номер 1008, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1008, страница 197.

Условие.

1008. Докажите, что число, равное разности $111111 - 222$, является квадратом натурального числа.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что число, равное разности $111 111 - 222$, является квадратом натурального числа, выполним алгебраические преобразования этого выражения.

Сначала представим числа $111 111$ и $222$ через общий множитель. Заметим, что $111 111 = 111 \times 1001$ и $222 = 111 \times 2$.
Подставим эти выражения в исходную разность:
$111 111 - 222 = 111 \times 1001 - 111 \times 2$

Вынесем общий множитель $111$ за скобки:
$111 \times (1001 - 2) = 111 \times 999$

Далее представим число $999$ как произведение $9 \times 111$ и преобразуем полученное выражение:
$111 \times 999 = 111 \times (9 \times 111) = 111 \times 9 \times 111 = 111^2 \times 9$

Поскольку число $9$ является квадратом числа $3$ ($9 = 3^2$), мы можем представить всё выражение как полный квадрат, используя свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$:
$111^2 \times 9 = 111^2 \times 3^2 = (111 \times 3)^2 = 333^2$

Таким образом, мы показали, что $111 111 - 222 = 333^2$. Так как $333$ — это натуральное число, исходное число является квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.

Ответ: Исходное число равно $333^2$, что доказывает, что оно является квадратом натурального числа.