Номер 1007, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1007, страница 197.

Условие.

1007. Представьте в виде произведения:

а) $7a^3 + 7b^3$;

б) $2a^4 - 2b^4$;

в) $5a^4 + 5b^4$;

г) $2,5a^6 - 2,5b^6$;

д) $1,2a^6 + 1,2b^6$;

е) $3a^8 - 3b^8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) В выражении $7a^3 + 7b^3$ вынесем общий множитель 7 за скобки: $7a^3 + 7b^3 = 7(a^3 + b^3)$. Выражение в скобках является суммой кубов. Применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. В нашем случае $x=a$ и $y=b$, поэтому: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Подставив это в исходное выражение, получаем: $7(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Ответ: $7(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

б) В выражении $2a^4 - 2b^4$ вынесем общий множитель 2 за скобки: $2a^4 - 2b^4 = 2(a^4 - b^4)$. Выражение в скобках $a^4 - b^4$ можно представить как разность квадратов $(a^2)^2 - (b^2)^2$. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$. Множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов, которую можно разложить дальше: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Собрав все вместе, получаем: $2(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)$.
Ответ: $2(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

в) В выражении $5a^4 + 5b^4$ вынесем общий множитель 5 за скобки: $5a^4 + 5b^4 = 5(a^4 + 5b^4)$. Выражение в скобках $a^4 + b^4$ является суммой четвертых степеней. В рамках стандартных формул сокращенного умножения оно не раскладывается на множители с целыми коэффициентами. Поэтому вынесение общего множителя является окончательным разложением.
Ответ: $5(a^4 + b^4)$.

г) В выражении $2,5a^6 - 2,5b^6$ вынесем общий множитель 2,5 за скобки: $2,5a^6 - 2,5b^6 = 2,5(a^6 - b^6)$. Выражение $a^6 - b^6$ можно представить как разность квадратов $(a^3)^2 - (b^3)^2$. Применим формулу разности квадратов: $a^6 - b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$. Теперь разложим каждый из множителей по формулам разности и суммы кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ Соединив все части, получаем: $2,5(a-b)(a^2 + ab + b^2)(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Ответ: $2,5(a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$.

д) В выражении $1,2a^6 + 1,2b^6$ вынесем общий множитель 1,2 за скобки: $1,2a^6 + 1,2b^6 = 1,2(a^6 + b^6)$. Выражение $a^6 + b^6$ можно представить как сумму кубов $(a^2)^3 + (b^2)^3$. Применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x=a^2$ и $y=b^2$: $a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2+b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$. Таким образом, итоговое разложение: $1,2(a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.
Ответ: $1,2(a^2+b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.

е) В выражении $3a^8 - 3b^8$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3a^8 - 3b^8 = 3(a^8 - b^8)$. Выражение $a^8 - b^8$ будем последовательно раскладывать как разность квадратов: $a^8 - b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$. Теперь разложим множитель $(a^4 - b^4)$: $a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$. И, наконец, разложим множитель $(a^2 - b^2)$: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Соберем все множители вместе: $3(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.
Ответ: $3(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$.