Номер 1000, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1000, страница 196.

Условие.

1000. Представьте в виде многочлена

$(a(a + 2b) + b^2)(a(a - 2b) + b^2)((a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы представить данное выражение в виде многочлена, необходимо последовательно упростить его части, используя формулы сокращенного умножения.

Исходное выражение: $(a(a + 2b) + b^2)(a(a - 2b) + b^2)((a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2)$.

1. Упростим первый множитель: $a(a + 2b) + b^2$. Раскроем скобки:

$a^2 + 2ab + b^2$.

Это формула квадрата суммы: $(a + b)^2$.

2. Упростим второй множитель: $a(a - 2b) + b^2$. Раскроем скобки:

$a^2 - 2ab + b^2$.

Это формула квадрата разности: $(a - b)^2$.

3. Упростим третий множитель: $(a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2$. Раскроем квадрат разности:

$(a^2)^2 - 2a^2b^2 + (b^2)^2 + 4a^2b^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4 + 4a^2b^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + 2a^2b^2 + b^4$.

Это формула квадрата суммы: $(a^2 + b^2)^2$.

4. Теперь соберем упрощенные множители вместе:

$(a + b)^2 (a - b)^2 (a^2 + b^2)^2$.

5. Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, сгруппируем множители:

$((a + b)(a - b))^2 (a^2 + b^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к выражению $(a+b)(a-b)$:

$(a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2)^2$.

6. Снова сгруппируем множители:

$((a^2 - b^2)(a^2 + b^2))^2$.

Применим формулу разности квадратов еще раз:

$((a^2)^2 - (b^2)^2)^2 = (a^4 - b^4)^2$.

7. Наконец, раскроем полученный квадрат разности:

$(a^4)^2 - 2(a^4)(b^4) + (b^4)^2 = a^8 - 2a^4b^4 + b^8$.

Ответ: $a^8 - 2a^4b^4 + b^8$.