Номер 997, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 997, страница 196.

Условие.

997. Докажите, что значение выражения

$$(b+c-2a)(c-b)+(c+a-2b)(a-c)-(a+b-2c)(a-b)$$

при любых значениях $a$, $b$ и $c$ равно 0.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что значение заданного выражения равно 0 при любых значениях a, b и c, необходимо упростить это выражение, выполнив умножение многочленов и приведя подобные слагаемые.

Рассмотрим каждое слагаемое выражения по отдельности.

1. Упростим первое слагаемое $(b + c - 2a)(c - b)$:
$(b + c - 2a)(c - b) = b \cdot c + b \cdot (-b) + c \cdot c + c \cdot (-b) - 2a \cdot c - 2a \cdot (-b) = bc - b^2 + c^2 - bc - 2ac + 2ab$.
После приведения подобных слагаемых ($bc$ и $-bc$ сокращаются) получаем: $c^2 - b^2 + 2ab - 2ac$.

2. Упростим второе слагаемое $(c + a - 2b)(a - c)$:
$(c + a - 2b)(a - c) = c \cdot a + c \cdot (-c) + a \cdot a + a \cdot (-c) - 2b \cdot a - 2b \cdot (-c) = ac - c^2 + a^2 - ac - 2ab + 2bc$.
После приведения подобных слагаемых ($ac$ и $-ac$ сокращаются) получаем: $a^2 - c^2 - 2ab + 2bc$.

3. Упростим третий член $-(a + b - 2c)(a - b)$:
Сначала раскроем скобки $(a + b - 2c)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 - 2ca + 2cb = a^2 - b^2 - 2ac + 2bc$.
Теперь, применяя знак минус, который стоит перед произведением, получаем: $-(a^2 - b^2 - 2ac + 2bc) = -a^2 + b^2 + 2ac - 2bc$.

Теперь сложим все три полученных выражения:
$(c^2 - b^2 + 2ab - 2ac) + (a^2 - c^2 - 2ab + 2bc) + (-a^2 + b^2 + 2ac - 2bc)$.

Уберем скобки и сгруппируем подобные слагаемые для их взаимного уничтожения:
$c^2 - b^2 + 2ab - 2ac + a^2 - c^2 - 2ab + 2bc - a^2 + b^2 + 2ac - 2bc$
$= (a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (c^2 - c^2) + (2ab - 2ab) + (-2ac + 2ac) + (2bc - 2bc)$
$= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

Так как в результате всех преобразований мы получили 0, утверждение доказано.

Ответ: 0.