Номер 992, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 992, страница 195.

Условие.

992. Решите уравнение:

а) $(x + 1)(x + 2) – (x – 3)(x + 4) = 6;$

б) $(3x – 1)(2x + 7) – (x + 1)(6x – 5) = 7;$

в) $24 – (3y + 1)(4y – 5) = (11 – 6y)(2y – 7);$

г) $(6y + 2)(5 – y) = 47 – (2y – 3)(3y – 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $(x + 1)(x + 2) - (x - 3)(x + 4) = 6$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки, выполнив умножение многочленов:
$(x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2) - (x \cdot x + x \cdot 4 - 3 \cdot x - 3 \cdot 4) = 6$
$(x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 + 4x - 3x - 12) = 6$
Приведем подобные слагаемые внутри каждой пары скобок:
$(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + x - 12) = 6$
Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:
$x^2 + 3x + 2 - x^2 - x + 12 = 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(x^2 - x^2) + (3x - x) + (2 + 12) = 6$
$2x + 14 = 6$
Перенесем свободный член (14) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2x = 6 - 14$
$2x = -8$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{-8}{2}$
$x = -4$
Ответ: $-4$

б) $(3x - 1)(2x + 7) - (x + 1)(6x - 5) = 7$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(3x \cdot 2x + 3x \cdot 7 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 7) - (x \cdot 6x - x \cdot 5 + 1 \cdot 6x - 1 \cdot 5) = 7$
$(6x^2 + 21x - 2x - 7) - (6x^2 - 5x + 6x - 5) = 7$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$(6x^2 + 19x - 7) - (6x^2 + x - 5) = 7$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$6x^2 + 19x - 7 - 6x^2 - x + 5 = 7$
Приведем подобные слагаемые в левой части. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются.
$(6x^2 - 6x^2) + (19x - x) + (-7 + 5) = 7$
$18x - 2 = 7$
Перенесем -2 в правую часть:
$18x = 7 + 2$
$18x = 9$
Найдем $x$:
$x = \frac{9}{18}$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $24 - (3y + 1)(4y - 5) = (11 - 6y)(2y - 7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$24 - (3y \cdot 4y - 3y \cdot 5 + 1 \cdot 4y - 1 \cdot 5) = 11 \cdot 2y - 11 \cdot 7 - 6y \cdot 2y + 6y \cdot 7$
$24 - (12y^2 - 15y + 4y - 5) = 22y - 77 - 12y^2 + 42y$
Приведем подобные слагаемые:
$24 - (12y^2 - 11y - 5) = -12y^2 + 64y - 77$
Раскроем скобки в левой части:
$24 - 12y^2 + 11y + 5 = -12y^2 + 64y - 77$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-12y^2 + 11y + 29 = -12y^2 + 64y - 77$
Прибавим к обеим частям уравнения $12y^2$. Слагаемые с $y^2$ взаимно уничтожатся.
$11y + 29 = 64y - 77$
Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$29 + 77 = 64y - 11y$
$106 = 53y$
Найдем $y$:
$y = \frac{106}{53}$
$y = 2$
Ответ: $2$

г) $(6y + 2)(5 - y) = 47 - (2y - 3)(3y - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$(6y \cdot 5 - 6y \cdot y + 2 \cdot 5 - 2 \cdot y) = 47 - (2y \cdot 3y - 2y \cdot 1 - 3 \cdot 3y + 3 \cdot 1)$
$(30y - 6y^2 + 10 - 2y) = 47 - (6y^2 - 2y - 9y + 3)$
Приведем подобные слагаемые:
$-6y^2 + 28y + 10 = 47 - (6y^2 - 11y + 3)$
Раскроем скобки в правой части:
$-6y^2 + 28y + 10 = 47 - 6y^2 + 11y - 3$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$-6y^2 + 28y + 10 = -6y^2 + 11y + 44$
Прибавим к обеим частям уравнения $6y^2$. Слагаемые с $y^2$ взаимно уничтожатся.
$28y + 10 = 11y + 44$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$28y - 11y = 44 - 10$
$17y = 34$
Найдем $y$:
$y = \frac{34}{17}$
$y = 2$
Ответ: $2$