Номер 987, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 987, страница 195.

Условие.

987. Представьте в виде произведения:

а) $\frac{27}{64} - y^{12}$;

б) $-x^{15} + \frac{1}{27}$;

в) $3\frac{3}{8}a^{15} + b^{12}$;

г) $1\frac{61}{64}x^{18} + y^{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Представим выражение $\frac{27}{64} - y^{12}$ в виде разности кубов.
Для этого представим каждый член выражения в виде куба:
$\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$
$y^{12} = y^{4 \cdot 3} = (y^4)^3$
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(\frac{3}{4})^3 - (y^4)^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \frac{3}{4}$ и $b = y^4$.
Подставим наши значения в формулу и упростим:
$(\frac{3}{4} - y^4)((\frac{3}{4})^2 + \frac{3}{4} \cdot y^4 + (y^4)^2) = (\frac{3}{4} - y^4)(\frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^4 + y^8)$.
Ответ: $(\frac{3}{4} - y^4)(\frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^4 + y^8)$.

б) Перепишем выражение $-x^{15} + \frac{1}{27}$, поменяв слагаемые местами, чтобы получить стандартный вид разности: $\frac{1}{27} - x^{15}$.
Представим каждый член выражения в виде куба:
$\frac{1}{27} = \frac{1^3}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$
$x^{15} = x^{5 \cdot 3} = (x^5)^3$
Теперь выражение имеет вид разности кубов: $(\frac{1}{3})^3 - (x^5)^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \frac{1}{3}$ и $b = x^5$.
Подставим значения в формулу и упростим:
$(\frac{1}{3} - x^5)((\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} \cdot x^5 + (x^5)^2) = (\frac{1}{3} - x^5)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}x^5 + x^{10})$.
Ответ: $(\frac{1}{3} - x^5)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}x^5 + x^{10})$.

в) Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Исходное выражение: $\frac{27}{8}a^{15} + b^{12}$.
Представим это выражение в виде суммы кубов. Для этого представим каждый член в виде куба:
$\frac{27}{8}a^{15} = (\frac{3}{2})^3 (a^5)^3 = (\frac{3}{2}a^5)^3$
$b^{12} = (b^4)^3$
Таким образом, мы имеем сумму кубов: $(\frac{3}{2}a^5)^3 + (b^4)^3$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \frac{3}{2}a^5$ и $b = b^4$.
Подставим значения в формулу и упростим:
$(\frac{3}{2}a^5 + b^4)((\frac{3}{2}a^5)^2 - (\frac{3}{2}a^5)(b^4) + (b^4)^2) = (\frac{3}{2}a^5 + b^4)(\frac{9}{4}a^{10} - \frac{3}{2}a^5b^4 + b^8)$.
Ответ: $(\frac{3}{2}a^5 + b^4)(\frac{9}{4}a^{10} - \frac{3}{2}a^5b^4 + b^8)$.

г) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{61}{64}$ в неправильную дробь: $1\frac{61}{64} = \frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = \frac{125}{64}$.
Исходное выражение: $\frac{125}{64}x^{18} + y^3$.
Представим это выражение в виде суммы кубов. Для этого представим каждый член в виде куба:
$\frac{125}{64}x^{18} = (\frac{5}{4})^3 (x^6)^3 = (\frac{5}{4}x^6)^3$
$y^3 = (y)^3$
Таким образом, мы имеем сумму кубов: $(\frac{5}{4}x^6)^3 + (y)^3$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \frac{5}{4}x^6$ и $b = y$.
Подставим значения в формулу и упростим:
$(\frac{5}{4}x^6 + y)((\frac{5}{4}x^6)^2 - (\frac{5}{4}x^6)(y) + y^2) = (\frac{5}{4}x^6 + y)(\frac{25}{16}x^{12} - \frac{5}{4}x^6y + y^2)$.
Ответ: $(\frac{5}{4}x^6 + y)(\frac{25}{16}x^{12} - \frac{5}{4}x^6y + y^2)$.