Страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

983. Преобразуйте в произведение:

а) $16 - 9(p + 3)^2;$

б) $9 - 25(4 - x)^2;$

в) $1 - 36(3y - 1)^2;$

г) $4 - 9(a + b)^2.$

а)

Для преобразования выражения $16 - 9(p + 3)^2$ в произведение используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Сначала представим каждый член выражения в виде квадрата.$16 = 4^2$
$9(p + 3)^2 = (3(p + 3))^2$
Теперь наше выражение выглядит так: $4^2 - (3(p + 3))^2$.
В данном случае, $a = 4$ и $b = 3(p + 3)$.
Подставим эти значения в формулу разности квадратов:
$(4 - 3(p + 3))(4 + 3(p + 3))$
Далее упростим выражения в каждой из скобок:
$4 - 3(p + 3) = 4 - 3p - 9 = -3p - 5$
$4 + 3(p + 3) = 4 + 3p + 9 = 3p + 13$
Таким образом, итоговое произведение равно:
$(-3p - 5)(3p + 13)$
Ответ: $(-3p - 5)(3p + 13)$

б)

Для преобразования выражения $9 - 25(4 - x)^2$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим члены выражения в виде квадратов:$9 = 3^2$
$25(4 - x)^2 = (5(4 - x))^2$
Выражение принимает вид: $3^2 - (5(4 - x))^2$.
Здесь $a = 3$ и $b = 5(4 - x)$.
Применяем формулу:
$(3 - 5(4 - x))(3 + 5(4 - x))$
Упростим каждый множитель, раскрыв внутренние скобки:
$3 - 5(4 - x) = 3 - 20 + 5x = 5x - 17$
$3 + 5(4 - x) = 3 + 20 - 5x = 23 - 5x$
Получаем произведение:
$(5x - 17)(23 - 5x)$
Ответ: $(5x - 17)(23 - 5x)$

в)

Преобразуем выражение $1 - 36(3y - 1)^2$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим члены выражения как квадраты:$1 = 1^2$
$36(3y - 1)^2 = (6(3y - 1))^2$
Получаем: $1^2 - (6(3y - 1))^2$.
Здесь $a = 1$ и $b = 6(3y - 1)$.
Подставим в формулу:
$(1 - 6(3y - 1))(1 + 6(3y - 1))$
Раскроем скобки и упростим выражения в каждом множителе:
$1 - 6(3y - 1) = 1 - 18y + 6 = 7 - 18y$
$1 + 6(3y - 1) = 1 + 18y - 6 = 18y - 5$
Итоговое произведение:
$(7 - 18y)(18y - 5)$
Ответ: $(7 - 18y)(18y - 5)$

г)

Преобразуем выражение $4 - 9(a + b)^2$ по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим члены выражения в виде квадратов:$4 = 2^2$
$9(a + b)^2 = (3(a + b))^2$
Выражение принимает вид: $2^2 - (3(a + b))^2$.
Здесь $a = 2$ и $b = 3(a + b)$.
Применяем формулу:
$(2 - 3(a + b))(2 + 3(a + b))$
Упростим каждый множитель, раскрыв внутренние скобки:
$2 - 3(a + b) = 2 - 3a - 3b$
$2 + 3(a + b) = 2 + 3a + 3b$
Получаем произведение:
$(2 - 3a - 3b)(2 + 3a + 3b)$
Ответ: $(2 - 3a - 3b)(2 + 3a + 3b)$

986. Разложите на множители:

а) $0.027x^3 + 1$;

б) $y^6 - 0.001x^3$;

в) $d^3 + 0.008c^3$;

г) $125 - 0.064p^3$.

а)

Для разложения на множители выражения $0.027x^3 + 1$ воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба:

$0.027x^3 = (0.3x)^3$

$1 = 1^3$

В нашем случае $a = 0.3x$ и $b = 1$. Подставим эти значения в формулу:

$0.027x^3 + 1 = (0.3x)^3 + 1^3 = (0.3x + 1)((0.3x)^2 - 0.3x \cdot 1 + 1^2) = (0.3x + 1)(0.09x^2 - 0.3x + 1)$.

Ответ: $(0.3x + 1)(0.09x^2 - 0.3x + 1)$.

б)

Для разложения на множители выражения $y^6 - 0.001x^3$ воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба:

$y^6 = (y^2)^3$

$0.001x^3 = (0.1x)^3$

Здесь $a = y^2$ и $b = 0.1x$. Подставляем в формулу:

$y^6 - 0.001x^3 = (y^2)^3 - (0.1x)^3 = (y^2 - 0.1x)((y^2)^2 + y^2 \cdot 0.1x + (0.1x)^2) = (y^2 - 0.1x)(y^4 + 0.1xy^2 + 0.01x^2)$.

Ответ: $(y^2 - 0.1x)(y^4 + 0.1xy^2 + 0.01x^2)$.

в)

Для разложения на множители выражения $d^3 + 0.008c^3$ применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба:

$d^3 = d^3$

$0.008c^3 = (0.2c)^3$

В данном случае $a = d$ и $b = 0.2c$. Подставляем в формулу:

$d^3 + 0.008c^3 = d^3 + (0.2c)^3 = (d + 0.2c)(d^2 - d \cdot 0.2c + (0.2c)^2) = (d + 0.2c)(d^2 - 0.2cd + 0.04c^2)$.

Ответ: $(d + 0.2c)(d^2 - 0.2cd + 0.04c^2)$.

г)

Для разложения на множители выражения $125 - 0.064p^3$ используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба:

$125 = 5^3$

$0.064p^3 = (0.4p)^3$

Здесь $a = 5$ и $b = 0.4p$. Подставляем в формулу:

$125 - 0.064p^3 = 5^3 - (0.4p)^3 = (5 - 0.4p)(5^2 + 5 \cdot 0.4p + (0.4p)^2) = (5 - 0.4p)(25 + 2p + 0.16p^2)$.

Ответ: $(5 - 0.4p)(25 + 2p + 0.16p^2)$.

989. Представьте в виде произведения:

а) $(x + 1)^3 + x^3$;

б) $(y - 2)^3 - 27$;

в) $(a - b)^3 + b^3$;

г) $8x^3 + (x - y)^3$;

д) $27a^3 - (a - b)^3$;

е) $1000 + (b - 8)^3$.

Для решения данных задач мы будем использовать формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

а) Представим выражение $(x + 1)^3 + x^3$ в виде произведения, используя формулу суммы кубов.

В данном случае $a = x + 1$ и $b = x$.

Первый множитель (сумма оснований): $(x + 1) + x = 2x + 1$.

Второй множитель (неполный квадрат разности): $(x + 1)^2 - (x + 1)x + x^2$.

Упростим второй множитель:

$(x^2 + 2x + 1) - (x^2 + x) + x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 - x + x^2 = x^2 + x + 1$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$(x + 1)^3 + x^3 = (2x + 1)(x^2 + x + 1)$.

Ответ: $(2x + 1)(x^2 + x + 1)$.

б) Представим выражение $(y - 2)^3 - 27$ в виде произведения. Сначала заметим, что $27 = 3^3$.

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = y - 2$ и $b = 3$.

Первый множитель (разность оснований): $(y - 2) - 3 = y - 5$.

Второй множитель (неполный квадрат суммы): $(y - 2)^2 + (y - 2) \cdot 3 + 3^2$.

Упростим второй множитель:

$(y^2 - 4y + 4) + (3y - 6) + 9 = y^2 - 4y + 3y + 4 - 6 + 9 = y^2 - y + 7$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$(y - 2)^3 - 27 = (y - 5)(y^2 - y + 7)$.

Ответ: $(y - 5)(y^2 - y + 7)$.

в) Представим выражение $(a - b)^3 + b^3$ в виде произведения, используя формулу суммы кубов.

Здесь $A = a - b$ и $B = b$.

Первый множитель: $(a - b) + b = a$.

Второй множитель: $(a - b)^2 - (a - b)b + b^2$.

Упростим второй множитель:

$(a^2 - 2ab + b^2) - (ab - b^2) + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 - ab + b^2 + b^2 = a^2 - 3ab + 3b^2$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$(a - b)^3 + b^3 = a(a^2 - 3ab + 3b^2)$.

Ответ: $a(a^2 - 3ab + 3b^2)$.

г) Представим выражение $8x^3 + (x - y)^3$ в виде произведения. Сначала заметим, что $8x^3 = (2x)^3$.

Используем формулу суммы кубов, где $a = 2x$ и $b = x - y$.

Первый множитель: $2x + (x - y) = 3x - y$.

Второй множитель: $(2x)^2 - 2x(x - y) + (x - y)^2$.

Упростим второй множитель:

$4x^2 - (2x^2 - 2xy) + (x^2 - 2xy + y^2) = 4x^2 - 2x^2 + 2xy + x^2 - 2xy + y^2 = 3x^2 + y^2$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$8x^3 + (x - y)^3 = (3x - y)(3x^2 + y^2)$.

Ответ: $(3x - y)(3x^2 + y^2)$.

д) Представим выражение $27a^3 - (a - b)^3$ в виде произведения. Сначала заметим, что $27a^3 = (3a)^3$.

Используем формулу разности кубов, где $A = 3a$ и $B = a - b$.

Первый множитель: $3a - (a - b) = 3a - a + b = 2a + b$.

Второй множитель: $(3a)^2 + 3a(a - b) + (a - b)^2$.

Упростим второй множитель:

$9a^2 + (3a^2 - 3ab) + (a^2 - 2ab + b^2) = 9a^2 + 3a^2 - 3ab + a^2 - 2ab + b^2 = 13a^2 - 5ab + b^2$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$27a^3 - (a - b)^3 = (2a + b)(13a^2 - 5ab + b^2)$.

Ответ: $(2a + b)(13a^2 - 5ab + b^2)$.

е) Представим выражение $1000 + (b - 8)^3$ в виде произведения. Сначала заметим, что $1000 = 10^3$.

Используем формулу суммы кубов, где $a = 10$ и $b = b - 8$.

Первый множитель: $10 + (b - 8) = b + 2$.

Второй множитель: $10^2 - 10(b - 8) + (b - 8)^2$.

Упростим второй множитель:

$100 - (10b - 80) + (b^2 - 16b + 64) = 100 - 10b + 80 + b^2 - 16b + 64 = b^2 - 26b + 244$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$1000 + (b - 8)^3 = (b + 2)(b^2 - 26b + 244)$.

Ответ: $(b + 2)(b^2 - 26b + 244)$.

984. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

а) $(n + 1)^2 - (n - 1)^2$ делится на 4;

б) $(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2$ делится на 8;

в) $(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится на 12;

г) $(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2$ делится на 7.

а)

Чтобы доказать, что выражение делится на 4, преобразуем его, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном выражении $a = n + 1$, а $b = n - 1$.

$(n + 1)^2 - (n - 1)^2 = ((n + 1) - (n - 1))((n + 1) + (n - 1))$

Теперь упростим каждое из выражений в скобках:

Первая скобка: $(n + 1) - (n - 1) = n + 1 - n + 1 = 2$.

Вторая скобка: $(n + 1) + (n - 1) = n + 1 + n - 1 = 2n$.

Перемножим полученные результаты: $2 \cdot 2n = 4n$.

Поскольку $n$ является натуральным числом, произведение $4n$ всегда будет кратно 4. Таким образом, исходное выражение делится на 4 при любом натуральном $n$.

Ответ: доказано.

б)

Воспользуемся той же формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 2n + 3$, а $b = 2n - 1$.

$(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 = ((2n + 3) - (2n - 1))((2n + 3) + (2n - 1))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $(2n + 3) - (2n - 1) = 2n + 3 - 2n + 1 = 4$.

Вторая скобка: $(2n + 3) + (2n - 1) = 2n + 3 + 2n - 1 = 4n + 2$.

Перемножим результаты: $4 \cdot (4n + 2)$.

Из второй скобки можно вынести общий множитель 2: $4 \cdot 2(2n + 1) = 8(2n + 1)$.

Так как $n$ — натуральное число, то $(2n + 1)$ также является целым числом. Выражение $8(2n + 1)$ представляет собой произведение числа 8 и целого числа, следовательно, оно всегда делится на 8.

Ответ: доказано.

в)

Снова применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В этом случае $a = 3n + 1$, а $b = 3n - 1$.

$(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2 = ((3n + 1) - (3n - 1))((3n + 1) + (3n - 1))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $(3n + 1) - (3n - 1) = 3n + 1 - 3n + 1 = 2$.

Вторая скобка: $(3n + 1) + (3n - 1) = 3n + 1 + 3n - 1 = 6n$.

Перемножим полученные выражения: $2 \cdot 6n = 12n$.

Поскольку $n$ — натуральное число, произведение $12n$ всегда будет кратно 12.

Ответ: доказано.

г)

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 5n + 1$, а $b = 2n - 1$.

$(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = ((5n + 1) - (2n - 1))((5n + 1) + (2n - 1))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $(5n + 1) - (2n - 1) = 5n + 1 - 2n + 1 = 3n + 2$.

Вторая скобка: $(5n + 1) + (2n - 1) = 5n + 1 + 2n - 1 = 7n$.

Перемножим результаты: $(3n + 2)(7n) = 7n(3n + 2)$.

Так как $n$ — натуральное число, то $n(3n + 2)$ является целым числом. Выражение $7n(3n + 2)$ имеет множитель 7, следовательно, оно всегда делится на 7 при любом натуральном $n$.

Ответ: доказано.

987. Представьте в виде произведения:

а) $\frac{27}{64} - y^{12}$;

б) $-x^{15} + \frac{1}{27}$;

в) $3\frac{3}{8}a^{15} + b^{12}$;

г) $1\frac{61}{64}x^{18} + y^{3}$.

а) Представим выражение $\frac{27}{64} - y^{12}$ в виде разности кубов.
Для этого представим каждый член выражения в виде куба:
$\frac{27}{64} = \frac{3^3}{4^3} = (\frac{3}{4})^3$
$y^{12} = y^{4 \cdot 3} = (y^4)^3$
Таким образом, исходное выражение можно записать как $(\frac{3}{4})^3 - (y^4)^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \frac{3}{4}$ и $b = y^4$.
Подставим наши значения в формулу и упростим:
$(\frac{3}{4} - y^4)((\frac{3}{4})^2 + \frac{3}{4} \cdot y^4 + (y^4)^2) = (\frac{3}{4} - y^4)(\frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^4 + y^8)$.
Ответ: $(\frac{3}{4} - y^4)(\frac{9}{16} + \frac{3}{4}y^4 + y^8)$.

б) Перепишем выражение $-x^{15} + \frac{1}{27}$, поменяв слагаемые местами, чтобы получить стандартный вид разности: $\frac{1}{27} - x^{15}$.
Представим каждый член выражения в виде куба:
$\frac{1}{27} = \frac{1^3}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$
$x^{15} = x^{5 \cdot 3} = (x^5)^3$
Теперь выражение имеет вид разности кубов: $(\frac{1}{3})^3 - (x^5)^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = \frac{1}{3}$ и $b = x^5$.
Подставим значения в формулу и упростим:
$(\frac{1}{3} - x^5)((\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} \cdot x^5 + (x^5)^2) = (\frac{1}{3} - x^5)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}x^5 + x^{10})$.
Ответ: $(\frac{1}{3} - x^5)(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}x^5 + x^{10})$.

в) Сначала преобразуем смешанное число $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Исходное выражение: $\frac{27}{8}a^{15} + b^{12}$.
Представим это выражение в виде суммы кубов. Для этого представим каждый член в виде куба:
$\frac{27}{8}a^{15} = (\frac{3}{2})^3 (a^5)^3 = (\frac{3}{2}a^5)^3$
$b^{12} = (b^4)^3$
Таким образом, мы имеем сумму кубов: $(\frac{3}{2}a^5)^3 + (b^4)^3$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \frac{3}{2}a^5$ и $b = b^4$.
Подставим значения в формулу и упростим:
$(\frac{3}{2}a^5 + b^4)((\frac{3}{2}a^5)^2 - (\frac{3}{2}a^5)(b^4) + (b^4)^2) = (\frac{3}{2}a^5 + b^4)(\frac{9}{4}a^{10} - \frac{3}{2}a^5b^4 + b^8)$.
Ответ: $(\frac{3}{2}a^5 + b^4)(\frac{9}{4}a^{10} - \frac{3}{2}a^5b^4 + b^8)$.

г) Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{61}{64}$ в неправильную дробь: $1\frac{61}{64} = \frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = \frac{125}{64}$.
Исходное выражение: $\frac{125}{64}x^{18} + y^3$.
Представим это выражение в виде суммы кубов. Для этого представим каждый член в виде куба:
$\frac{125}{64}x^{18} = (\frac{5}{4})^3 (x^6)^3 = (\frac{5}{4}x^6)^3$
$y^3 = (y)^3$
Таким образом, мы имеем сумму кубов: $(\frac{5}{4}x^6)^3 + (y)^3$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = \frac{5}{4}x^6$ и $b = y$.
Подставим значения в формулу и упростим:
$(\frac{5}{4}x^6 + y)((\frac{5}{4}x^6)^2 - (\frac{5}{4}x^6)(y) + y^2) = (\frac{5}{4}x^6 + y)(\frac{25}{16}x^{12} - \frac{5}{4}x^6y + y^2)$.
Ответ: $(\frac{5}{4}x^6 + y)(\frac{25}{16}x^{12} - \frac{5}{4}x^6y + y^2)$.

982. Разложите на множители:

а) $(x - 5)^2 - 16;$

б) $(b + 7)^2 - 9;$

в) $25 - (3 - x)^2;$

г) $81 - (a + 7)^2;$

д) $(7x - 4)^2 - (2x + 1)^2;$

е) $(n - 2)^2 - (3n + 1)^2;$

ж) $9(a + 1)^2 - 1;$

з) $4 - 25(x - 3)^2.$

Для решения всех примеров используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Представим выражение $(x - 5)^2 - 16$ в виде разности квадратов. Здесь $a = x - 5$, а $b^2 = 16$, следовательно, $b = 4$.
Применяем формулу:
$(x - 5)^2 - 4^2 = ((x - 5) - 4)((x - 5) + 4)$
Упрощаем выражения в скобках:
$(x - 5 - 4)(x - 5 + 4) = (x - 9)(x - 1)$
Ответ: $(x - 9)(x - 1)$.

б) В выражении $(b + 7)^2 - 9$ имеем $a = b + 7$, а $b^2 = 9$, значит $b = 3$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(b + 7)^2 - 3^2 = ((b + 7) - 3)((b + 7) + 3)$
Упрощаем:
$(b + 7 - 3)(b + 7 + 3) = (b + 4)(b + 10)$
Ответ: $(b + 4)(b + 10)$.

в) В выражении $25 - (3 - x)^2$ имеем $a^2 = 25$, значит $a = 5$, а $b = 3 - x$.
Применяем формулу разности квадратов:
$5^2 - (3 - x)^2 = (5 - (3 - x))(5 + (3 - x))$
Раскрываем внутренние скобки, обращая внимание на знаки:
$(5 - 3 + x)(5 + 3 - x) = (2 + x)(8 - x)$
Ответ: $(x + 2)(8 - x)$.

г) В выражении $81 - (a + 7)^2$ имеем $a^2 = 81$, значит $a = 9$, а $b = a + 7$.
Применяем формулу разности квадратов:
$9^2 - (a + 7)^2 = (9 - (a + 7))(9 + (a + 7))$
Раскрываем внутренние скобки:
$(9 - a - 7)(9 + a + 7) = (2 - a)(16 + a)$
Ответ: $(2 - a)(a + 16)$.

д) В выражении $(7x - 4)^2 - (2x + 1)^2$ имеем $a = 7x - 4$ и $b = 2x + 1$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((7x - 4) - (2x + 1))((7x - 4) + (2x + 1))$
Упрощаем выражения в каждой из скобок:
$(7x - 4 - 2x - 1)(7x - 4 + 2x + 1) = (5x - 5)(9x - 3)$
Выносим общие множители из каждой скобки:
$5(x - 1) \cdot 3(3x - 1) = 15(x - 1)(3x - 1)$
Ответ: $15(x - 1)(3x - 1)$.

е) В выражении $(n - 2)^2 - (3n + 1)^2$ имеем $a = n - 2$ и $b = 3n + 1$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((n - 2) - (3n + 1))((n - 2) + (3n + 1))$
Упрощаем выражения в каждой из скобок:
$(n - 2 - 3n - 1)(n - 2 + 3n + 1) = (-2n - 3)(4n - 1)$
Можно вынести знак минус из первой скобки:
$-(2n + 3)(4n - 1)$
Ответ: $-(2n + 3)(4n - 1)$.

ж) Представим выражение $9(a + 1)^2 - 1$ в виде разности квадратов.
$9(a + 1)^2 - 1 = (3(a + 1))^2 - 1^2 = (3a + 3)^2 - 1^2$
Теперь $a = 3a + 3$ и $b = 1$. Применяем формулу:
$((3a + 3) - 1)((3a + 3) + 1) = (3a + 2)(3a + 4)$
Ответ: $(3a + 2)(3a + 4)$.

з) Представим выражение $4 - 25(x - 3)^2$ в виде разности квадратов.
$4 - 25(x - 3)^2 = 2^2 - (5(x - 3))^2 = 2^2 - (5x - 15)^2$
Теперь $a = 2$ и $b = 5x - 15$. Применяем формулу:
$(2 - (5x - 15))(2 + (5x - 15))$
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(2 - 5x + 15)(2 + 5x - 15) = (17 - 5x)(5x - 13)$
Ответ: $(17 - 5x)(5x - 13)$.

985. Найдите значение выражения:

а) $(3a - 2b)^2 - (2a - b)^2$ при $a = 1,35$ и $b = -0,65$;

б) $(2y - c)^2 + (y + 2c)^2$ при $c = 1,2$ и $y = -1,4$.

а) Для нахождения значения выражения $(3a - 2b)^2 - (2a - b)^2$ при $a = 1,35$ и $b = -0,65$ сначала упростим его, чтобы избежать громоздких вычислений.
Это выражение является разностью квадратов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
В нашем случае пусть $x = 3a - 2b$ и $y = 2a - b$.
Тогда:
$x - y = (3a - 2b) - (2a - b) = 3a - 2b - 2a + b = a - b$
$x + y = (3a - 2b) + (2a - b) = 3a - 2b + 2a - b = 5a - 3b$
Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $(a - b)(5a - 3b)$.
Теперь подставим заданные значения $a = 1,35$ и $b = -0,65$ в упрощенное выражение.
Вычислим значение первого множителя:
$a - b = 1,35 - (-0,65) = 1,35 + 0,65 = 2$
Вычислим значение второго множителя:
$5a - 3b = 5 \cdot 1,35 - 3 \cdot (-0,65) = 6,75 + 1,95 = 8,7$
Найдём произведение полученных значений:
$2 \cdot 8,7 = 17,4$
Ответ: $17,4$

б) Для нахождения значения выражения $(2y - c)^2 + (y + 2c)^2$ при $c = 1,2$ и $y = -1,4$ также сначала упростим его.
Воспользуемся формулами квадрата разности $(x-z)^2 = x^2 - 2xz + z^2$ и квадрата суммы $(x+z)^2 = x^2 + 2xz + z^2$.
Раскроем каждую скобку:
$(2y - c)^2 = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot c + c^2 = 4y^2 - 4yc + c^2$
$(y + 2c)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot (2c) + (2c)^2 = y^2 + 4yc + 4c^2$
Теперь сложим полученные выражения:
$(4y^2 - 4yc + c^2) + (y^2 + 4yc + 4c^2) = 4y^2 + y^2 - 4yc + 4yc + c^2 + 4c^2 = 5y^2 + 5c^2$
Выражение упростилось до $5(y^2 + c^2)$.
Теперь подставим заданные значения $c = 1,2$ и $y = -1,4$ в упрощенное выражение.
$5((-1,4)^2 + (1,2)^2) = 5(1,96 + 1,44)$
Сначала выполним сложение в скобках:
$1,96 + 1,44 = 3,4$
Теперь умножим результат на 5:
$5 \cdot 3,4 = 17$
Ответ: $17$

988. Докажите, что значение выражения:

а) $41^3 + 19^3$ делится на 60;

б) $79^3 - 29^3$ делится на 50;

в) $66^3 + 34^3$ делится на 400;

г) $54^3 - 24^3$ делится на 1080.

а) Для доказательства используем формулу сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим в формулу значения $a = 41$ и $b = 19$:
$41^3 + 19^3 = (41 + 19)(41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2)$
Вычислим сумму в первой скобке:
$41 + 19 = 60$
Таким образом, выражение можно записать в виде:
$41^3 + 19^3 = 60 \cdot (41^2 - 41 \cdot 19 + 19^2)$
Поскольку один из множителей равен 60, а второй множитель является целым числом, то все выражение делится на 60.
Ответ: Значение выражения $41^3 + 19^3$ делится на 60.

б) Для доказательства используем формулу сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим в формулу значения $a = 79$ и $b = 29$:
$79^3 - 29^3 = (79 - 29)(79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2)$
Вычислим разность в первой скобке:
$79 - 29 = 50$
Таким образом, выражение можно записать в виде:
$79^3 - 29^3 = 50 \cdot (79^2 + 79 \cdot 29 + 29^2)$
Поскольку один из множителей равен 50, а второй множитель является целым числом, то все выражение делится на 50.
Ответ: Значение выражения $79^3 - 29^3$ делится на 50.

в) Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Подставим в формулу значения $a = 66$ и $b = 34$:
$66^3 + 34^3 = (66 + 34)(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$
Вычислим сумму в первой скобке:
$66 + 34 = 100$
Получаем: $100 \cdot (66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$.
Чтобы доказать, что выражение делится на 400, необходимо показать, что второй множитель $(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$ делится на 4, так как $400 = 100 \cdot 4$.
Проверим делимость второго множителя на 4. Числа 66 и 34 являются четными, поэтому их квадраты и их произведение делятся на 4.
$66^2 = (2 \cdot 33)^2 = 4 \cdot 33^2$ (делится на 4).
$34^2 = (2 \cdot 17)^2 = 4 \cdot 17^2$ (делится на 4).
$66 \cdot 34 = (2 \cdot 33) \cdot (2 \cdot 17) = 4 \cdot 33 \cdot 17$ (делится на 4).
Так как уменьшаемое и вычитаемое во втором множителе делятся на 4, то и вся скобка $(66^2 - 66 \cdot 34 + 34^2)$ делится на 4.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде $100 \cdot (4k) = 400k$, где $k$ — целое число. Это доказывает, что оно делится на 400.
Ответ: Значение выражения $66^3 + 34^3$ делится на 400.

г) Используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Подставим в формулу значения $a = 54$ и $b = 24$:
$54^3 - 24^3 = (54 - 24)(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$
Вычислим разность в первой скобке:
$54 - 24 = 30$
Получаем: $30 \cdot (54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$.
Чтобы доказать, что выражение делится на 1080, необходимо показать, что второй множитель $(54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2)$ делится на 36, так как $1080 = 30 \cdot 36$.
Рассмотрим второй множитель. $54$ делится на 18, а $24$ делится на 6. Покажем, что каждый член в скобках делится на 36.
$54^2 = 2916$. $2916 \div 36 = 81$. Значит, $54^2$ делится на 36.
$24^2 = 576$. $576 \div 36 = 16$. Значит, $24^2$ делится на 36.
$54 \cdot 24 = 1296$. $1296 \div 36 = 36$. Значит, $54 \cdot 24$ делится на 36.
Альтернативный способ: представим $54 = 6 \cdot 9$ и $24 = 6 \cdot 4$.
$54^2 + 54 \cdot 24 + 24^2 = (6 \cdot 9)^2 + (6 \cdot 9)(6 \cdot 4) + (6 \cdot 4)^2 = 36 \cdot 81 + 36 \cdot 36 + 36 \cdot 16 = 36 \cdot (81 + 36 + 16)$.
Так как каждый член в скобках делится на 36, то и вся сумма делится на 36.
Следовательно, исходное выражение можно представить в виде $30 \cdot (36k) = 1080k$, где $k$ — целое число. Это доказывает, что оно делится на 1080.
Ответ: Значение выражения $54^3 - 24^3$ делится на 1080.

992. Решите уравнение:

а) $(x + 1)(x + 2) – (x – 3)(x + 4) = 6;$

б) $(3x – 1)(2x + 7) – (x + 1)(6x – 5) = 7;$

в) $24 – (3y + 1)(4y – 5) = (11 – 6y)(2y – 7);$

г) $(6y + 2)(5 – y) = 47 – (2y – 3)(3y – 1).$

а) $(x + 1)(x + 2) - (x - 3)(x + 4) = 6$

Для решения уравнения сначала раскроем скобки, выполнив умножение многочленов:
$(x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2) - (x \cdot x + x \cdot 4 - 3 \cdot x - 3 \cdot 4) = 6$
$(x^2 + 2x + x + 2) - (x^2 + 4x - 3x - 12) = 6$
Приведем подобные слагаемые внутри каждой пары скобок:
$(x^2 + 3x + 2) - (x^2 + x - 12) = 6$
Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:
$x^2 + 3x + 2 - x^2 - x + 12 = 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(x^2 - x^2) + (3x - x) + (2 + 12) = 6$
$2x + 14 = 6$
Перенесем свободный член (14) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$2x = 6 - 14$
$2x = -8$
Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{-8}{2}$
$x = -4$
Ответ: $-4$

б) $(3x - 1)(2x + 7) - (x + 1)(6x - 5) = 7$

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$(3x \cdot 2x + 3x \cdot 7 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 7) - (x \cdot 6x - x \cdot 5 + 1 \cdot 6x - 1 \cdot 5) = 7$
$(6x^2 + 21x - 2x - 7) - (6x^2 - 5x + 6x - 5) = 7$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$(6x^2 + 19x - 7) - (6x^2 + x - 5) = 7$
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$6x^2 + 19x - 7 - 6x^2 - x + 5 = 7$
Приведем подобные слагаемые в левой части. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются.
$(6x^2 - 6x^2) + (19x - x) + (-7 + 5) = 7$
$18x - 2 = 7$
Перенесем -2 в правую часть:
$18x = 7 + 2$
$18x = 9$
Найдем $x$:
$x = \frac{9}{18}$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $24 - (3y + 1)(4y - 5) = (11 - 6y)(2y - 7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$24 - (3y \cdot 4y - 3y \cdot 5 + 1 \cdot 4y - 1 \cdot 5) = 11 \cdot 2y - 11 \cdot 7 - 6y \cdot 2y + 6y \cdot 7$
$24 - (12y^2 - 15y + 4y - 5) = 22y - 77 - 12y^2 + 42y$
Приведем подобные слагаемые:
$24 - (12y^2 - 11y - 5) = -12y^2 + 64y - 77$
Раскроем скобки в левой части:
$24 - 12y^2 + 11y + 5 = -12y^2 + 64y - 77$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-12y^2 + 11y + 29 = -12y^2 + 64y - 77$
Прибавим к обеим частям уравнения $12y^2$. Слагаемые с $y^2$ взаимно уничтожатся.
$11y + 29 = 64y - 77$
Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$29 + 77 = 64y - 11y$
$106 = 53y$
Найдем $y$:
$y = \frac{106}{53}$
$y = 2$
Ответ: $2$

г) $(6y + 2)(5 - y) = 47 - (2y - 3)(3y - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$(6y \cdot 5 - 6y \cdot y + 2 \cdot 5 - 2 \cdot y) = 47 - (2y \cdot 3y - 2y \cdot 1 - 3 \cdot 3y + 3 \cdot 1)$
$(30y - 6y^2 + 10 - 2y) = 47 - (6y^2 - 2y - 9y + 3)$
Приведем подобные слагаемые:
$-6y^2 + 28y + 10 = 47 - (6y^2 - 11y + 3)$
Раскроем скобки в правой части:
$-6y^2 + 28y + 10 = 47 - 6y^2 + 11y - 3$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$-6y^2 + 28y + 10 = -6y^2 + 11y + 44$
Прибавим к обеим частям уравнения $6y^2$. Слагаемые с $y^2$ взаимно уничтожатся.
$28y + 10 = 11y + 44$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$28y - 11y = 44 - 10$
$17y = 34$
Найдем $y$:
$y = \frac{34}{17}$
$y = 2$
Ответ: $2$

990. Представьте в виде многочлена:

а) $(a^2 - 7)(a + 2) - (2a - 1)(a - 14);$

б) $(2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b^3 - 3b).$

а) Чтобы представить выражение в виде многочлена, раскроем скобки, перемножив каждый член одного многочлена на каждый член другого, а затем приведем подобные слагаемые.

Раскроем первые скобки:
$(a^2 - 7)(a + 2) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot 2 - 7 \cdot a - 7 \cdot 2 = a^3 + 2a^2 - 7a - 14$

Раскроем вторые скобки:
$(2a - 1)(a - 14) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-14) - 1 \cdot a - 1 \cdot (-14) = 2a^2 - 28a - a + 14 = 2a^2 - 29a + 14$

Теперь вычтем второе выражение из первого. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные.
$(a^3 + 2a^2 - 7a - 14) - (2a^2 - 29a + 14) = a^3 + 2a^2 - 7a - 14 - 2a^2 + 29a - 14$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (2a^2 - 2a^2) + (-7a + 29a) + (-14 - 14) = a^3 + 0 + 22a - 28 = a^3 + 22a - 28$

Ответ: $a^3 + 22a - 28$

б) Решим второе выражение аналогичным образом: сначала раскроем скобки, а затем приведем подобные слагаемые.

Раскроем первые скобки:
$(2 - b)(1 + 2b) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2b - b \cdot 1 - b \cdot 2b = 2 + 4b - b - 2b^2 = 2 + 3b - 2b^2$

Раскроем вторые скобки:
$(1 + b)(b^3 - 3b) = 1 \cdot b^3 + 1 \cdot (-3b) + b \cdot b^3 + b \cdot (-3b) = b^3 - 3b + b^4 - 3b^2$

Теперь сложим полученные многочлены:
$(2 + 3b - 2b^2) + (b^4 + b^3 - 3b^2 + b^3 - 3b) = 2 + 3b - 2b^2 + b^4 + b^3 - 3b^2 - 3b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, расположив их по убыванию степеней переменной $b$:
$b^4 + b^3 + (-2b^2 - 3b^2) + (3b - 3b) + 2 = b^4 + b^3 - 5b^2 + 0 + 2 = b^4 + b^3 - 5b^2 + 2$

Ответ: $b^4 + b^3 - 5b^2 + 2$

991. Представьте в виде многочлена:

a) $(x + 4)(x^2 - 4x + 16)$;

б) $(3a + 5)(9a^2 - 15a + 25)$.

а) $(x + 4)(x^2 - 4x + 16)$

Для того чтобы представить данное выражение в виде многочлена, воспользуемся формулой сокращённого умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае, пусть $a = x$ и $b = 4$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(x^2 - 4x + 16)$ выражению $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = x^2$
$ab = x \cdot 4 = 4x$
$b^2 = 4^2 = 16$

Действительно, выражение во второй скобке соответствует $x^2 - 4x + 16$.

Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:

$(x + 4)(x^2 - 4x + 16) = x^3 + 4^3 = x^3 + 64$.

Ответ: $x^3 + 64$.

б) $(3a + 5)(9a^2 - 15a + 25)$

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

В этом выражении, пусть $A = 3a$ и $B = 5$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(9a^2 - 15a + 25)$ выражению $(A^2 - AB + B^2)$:

$A^2 = (3a)^2 = 3^2 \cdot a^2 = 9a^2$
$AB = (3a) \cdot 5 = 15a$
$B^2 = 5^2 = 25$

Второй множитель полностью соответствует виду $A^2 - AB + B^2$.

Таким образом, применяем формулу:

$(3a + 5)(9a^2 - 15a + 25) = (3a)^3 + 5^3 = 27a^3 + 125$.

Ответ: $27a^3 + 125$.