Страница 202 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

1025. Является ли уравнение с двумя переменными линейным:

а) $3x - y = 17$;

б) $x^2 - 2y = 5$;

в) $13x + 6y = 0$;

г) $xy + 2x = 9$?

Для того чтобы определить, является ли уравнение с двумя переменными линейным, необходимо проверить, соответствует ли оно общему виду линейного уравнения: $ax + by = c$. В этом уравнении $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — числа (коэффициенты). Главные условия: переменные должны быть в первой степени, и в уравнении не должно быть их произведения ($xy$) или деления на них.

а) $3x - y = 17$. Данное уравнение можно представить в стандартном виде $3x + (-1)y = 17$. Это полностью соответствует форме $ax + by = c$, где коэффициенты $a=3$, $b=-1$ и $c=17$. Переменные $x$ и $y$ находятся в первой степени. Следовательно, уравнение является линейным. Ответ: да, является.

б) $x^2 - 2y = 5$. В этом уравнении переменная $x$ находится во второй степени ($x^2$). Это противоречит определению линейного уравнения, в котором все переменные должны быть в первой степени. Таким образом, это уравнение не является линейным. Ответ: нет, не является.

в) $13x + 6y = 0$. Это уравнение уже представлено в стандартной форме $ax + by = c$, где $a=13$, $b=6$ и $c=0$. Обе переменные, $x$ и $y$, находятся в первой степени, и нет их произведения. Следовательно, уравнение является линейным. Ответ: да, является.

г) $xy + 2x = 9$. Данное уравнение содержит член $xy$, который представляет собой произведение переменных $x$ и $y$. Наличие такого члена делает уравнение нелинейным, так как стандартная форма $ax + by = c$ не допускает произведений переменных. Ответ: нет, не является.

1028. Является ли решением уравнения $10x + y = 12$ пара чисел $(3; -20)$, $(-2; 12)$, $(0,1; 11)$, $(1; 2)$, $(2; 1)?$

Чтобы определить, является ли пара чисел решением уравнения $10x + y = 12$, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в левую часть уравнения и проверить, будет ли результат равен 12.

(3; -20)

Подставляем $x = 3$ и $y = -20$ в уравнение:

$10 \cdot 3 + (-20) = 30 - 20 = 10$

Так как $10 \neq 12$, пара чисел не является решением уравнения.

Ответ: не является.

(-2; 12)

Подставляем $x = -2$ и $y = 12$ в уравнение:

$10 \cdot (-2) + 12 = -20 + 12 = -8$

Так как $-8 \neq 12$, пара чисел не является решением уравнения.

Ответ: не является.

(0,1; 11)

Подставляем $x = 0,1$ и $y = 11$ в уравнение:

$10 \cdot 0,1 + 11 = 1 + 11 = 12$

Так как $12 = 12$, пара чисел является решением уравнения.

Ответ: является.

(1; 2)

Подставляем $x = 1$ и $y = 2$ в уравнение:

$10 \cdot 1 + 2 = 10 + 2 = 12$

Так как $12 = 12$, пара чисел является решением уравнения.

Ответ: является.

(2; 1)

Подставляем $x = 2$ и $y = 1$ в уравнение:

$10 \cdot 2 + 1 = 20 + 1 = 21$

Так как $21 \neq 12$, пара чисел не является решением уравнения.

Ответ: не является.

1031. Из уравнения $2u + v = 4$ выразите:

а) переменную $v$ через $u$;

б) переменную $u$ через $v$.

а) переменную v через u;
Дано уравнение $2u + v = 4$. Чтобы выразить переменную $v$ через $u$, необходимо изолировать $v$ в одной части уравнения. Для этого перенесём слагаемое $2u$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:
$v = 4 - 2u$

Ответ: $v = 4 - 2u$

б) переменную u через v;
Используем то же самое исходное уравнение: $2u + v = 4$. Чтобы выразить переменную $u$ через $v$, сначала изолируем слагаемое, содержащее $u$. Перенесём $v$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$2u = 4 - v$
Теперь, чтобы найти $u$, разделим обе части полученного уравнения на коэффициент при $u$, то есть на 2:
$u = \frac{4 - v}{2}$
Это выражение также можно записать в виде $u = 2 - \frac{v}{2}$.

Ответ: $u = \frac{4 - v}{2}$

1033. a) Выразив из уравнения $x - 6y = 4$ переменную $x$ через $y$, найдите три каких-либо решения этого уравнения.

б) Выразив переменную $y$ через переменную $x$, найдите три каких-либо решения уравнения $3x - y = 10$.

а) Чтобы выразить переменную $x$ через переменную $y$ из уравнения $x - 6y = 4$, нужно изолировать $x$ в левой части уравнения. Для этого перенесем слагаемое $-6y$ в правую часть, изменив его знак на противоположный:
$x = 4 + 6y$
Теперь найдем три каких-либо решения этого уравнения, подставляя произвольные значения для $y$ и вычисляя соответствующее значение $x$.
1. Пусть $y = 0$. Тогда $x = 4 + 6 \cdot 0 = 4$. Первое решение: $(4; 0)$.
2. Пусть $y = 1$. Тогда $x = 4 + 6 \cdot 1 = 10$. Второе решение: $(10; 1)$.
3. Пусть $y = -1$. Тогда $x = 4 + 6 \cdot (-1) = 4 - 6 = -2$. Третье решение: $(-2; -1)$.
Ответ: $x = 4 + 6y$; решениями могут быть, например, пары чисел $(4; 0)$, $(10; 1)$ и $(-2; -1)$.

б) Чтобы выразить переменную $y$ через переменную $x$ из уравнения $3x - y = 10$, удобнее всего перенести $-y$ в правую часть уравнения, а $10$ — в левую, поменяв у них знаки:
$3x - 10 = y$
Запишем это в более привычном виде:
$y = 3x - 10$
Теперь найдем три каких-либо решения уравнения, подставляя произвольные значения для $x$ и вычисляя соответствующее значение $y$.
1. Пусть $x = 0$. Тогда $y = 3 \cdot 0 - 10 = -10$. Первое решение: $(0; -10)$.
2. Пусть $x = 1$. Тогда $y = 3 \cdot 1 - 10 = 3 - 10 = -7$. Второе решение: $(1; -7)$.
3. Пусть $x = 4$. Тогда $y = 3 \cdot 4 - 10 = 12 - 10 = 2$. Третье решение: $(4; 2)$.
Ответ: $y = 3x - 10$; решениями могут быть, например, пары чисел $(0; -10)$, $(1; -7)$ и $(4; 2)$.

1035. Найдите значение коэффициента $a$ в уравнении $ax + 2y = 8$, если известно, что пара $x = 2$, $y = 1$ является решением этого уравнения.

По условию задачи, пара чисел $x = 2$ и $y = 1$ является решением уравнения $ax + 2y = 8$. Это означает, что если подставить данные значения $x$ и $y$ в уравнение, мы получим верное равенство.

Подставим $x = 2$ и $y = 1$ в исходное уравнение:

$a \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 8$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $a$.

Выполним умножение:

$2a + 2 = 8$

Перенесем число 2 в правую часть уравнения, изменив его знак:

$2a = 8 - 2$

$2a = 6$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 2:

$a = \frac{6}{2}$

$a = 3$

Таким образом, значение коэффициента $a$ равно 3.

Ответ: $a = 3$

1026. Является ли пара чисел $x = 1\frac{5}{7}$ и $y = 4\frac{2}{7}$ решением уравнения $x + y = 6$? Укажите ещё два решения этого уравнения.

Является ли пара чисел $x = 1\frac{5}{7}$ и $y = 4\frac{2}{7}$ решением уравнения $x + y = 6$?

Чтобы проверить, является ли пара чисел решением, подставим их значения в уравнение. Если в результате мы получим верное числовое равенство, то пара является решением.

Подставим $x = 1\frac{5}{7}$ и $y = 4\frac{2}{7}$ в левую часть уравнения $x + y = 6$:

$x + y = 1\frac{5}{7} + 4\frac{2}{7}$

Сложим целые части и дробные части по отдельности:

$(1 + 4) + (\frac{5}{7} + \frac{2}{7}) = 5 + \frac{5+2}{7} = 5 + \frac{7}{7} = 5 + 1 = 6$

Мы получили $6$, что соответствует правой части уравнения. Равенство $6 = 6$ является верным.

Ответ: Да, пара чисел $x = 1\frac{5}{7}$ и $y = 4\frac{2}{7}$ является решением уравнения.

Укажите ещё два решения этого уравнения.

Чтобы найти другие решения уравнения $x + y = 6$, можно выбрать произвольное значение для одной переменной (например, для $x$) и, подставив его в уравнение, найти соответствующее значение другой переменной ($y$).

Пример 1:

Пусть $x = 2$. Тогда уравнение примет вид:

$2 + y = 6$

Отсюда находим $y$:

$y = 6 - 2 = 4$

Таким образом, пара $x = 2, y = 4$ является решением.

Пример 2:

Пусть $x = 0$. Тогда уравнение примет вид:

$0 + y = 6$

Отсюда $y = 6$.

Таким образом, пара $x = 0, y = 6$ также является решением.

Ответ: Например, $x=2, y=4$ и $x=0, y=6$.

1029. Составьте какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел:

а) $x = 2$, $y = 4,5$;

б) $x = -1$, $y = 2$.

а)

Задача состоит в том, чтобы найти такое линейное уравнение вида $ax + by = c$, для которого пара чисел $x = 2$ и $y = 4,5$ будет являться решением. Это означает, что если подставить эти значения $x$ и $y$ в уравнение, то получится верное числовое равенство.

Мы можем выбрать произвольные коэффициенты $a$ и $b$ (главное, чтобы хотя бы один из них не был равен нулю), а затем вычислить, чему при таких коэффициентах будет равно $c$.

Давайте выберем простые коэффициенты, чтобы избежать дробных чисел в итоговом уравнении. Например, пусть $a=1$ и $b=2$. Теперь подставим значения $x=2$ и $y=4,5$ в левую часть уравнения $ax+by$:

$c = a \cdot x + b \cdot y = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4,5 = 2 + 9 = 11$.

Мы нашли, что при $a=1$ и $b=2$, значение $c$ должно быть равно $11$. Таким образом, мы получаем линейное уравнение $x + 2y = 11$.

Проверим, что пара $(2; 4,5)$ действительно является решением этого уравнения:

$2 + 2 \cdot 4,5 = 2 + 9 = 11$.

$11 = 11$.

Равенство верное, следовательно, уравнение составлено правильно. Отметим, что можно составить бесконечно много таких уравнений. Например, если бы мы выбрали $a=1$ и $b=1$, то получили бы уравнение $x+y=6,5$.

Ответ: $x + 2y = 11$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Нам нужно составить линейное уравнение, решением которого является пара чисел $x = -1$ и $y = 2$.

Выберем наиболее простые коэффициенты: $a = 1$ и $b = 1$.

Теперь найдем соответствующее значение $c$, подставив $x = -1$ и $y = 2$ в выражение $ax+by$:

$c = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 = -1 + 2 = 1$.

Таким образом, мы получаем очень простое линейное уравнение: $x + y = 1$.

Проведем проверку, подставив в него исходные значения:

$-1 + 2 = 1$.

$1 = 1$.

Равенство верное, значит, это один из правильных ответов. В качестве другого примера, можно было бы выбрать $a=2$ и $b=3$, тогда $c = 2(-1) + 3(2) = -2 + 6 = 4$, и уравнение было бы $2x + 3y = 4$.

Ответ: $x + y = 1$.

1032. Выразите из данного уравнения переменную y через x; используя полученную формулу, найдите три каких-либо решения этого уравнения:

а) $3x + 2y = 12$;

б) $5y - 2x = 1$.

а) Дано уравнение $3x + 2y = 12$.
Чтобы выразить переменную $y$ через $x$, сначала изолируем слагаемое с $y$. Для этого перенесем $3x$ в правую часть уравнения, изменив его знак:
$2y = 12 - 3x$
Теперь, чтобы получить $y$, разделим обе части уравнения на 2:
$y = \frac{12 - 3x}{2}$
Формулу можно также записать в виде: $y = 6 - 1.5x$.
Используя эту формулу, найдем три решения уравнения, подставляя произвольные значения $x$. Для удобства вычислений, выберем четные значения $x$.
1. Если $x = 0$, то $y = 6 - 1.5 \cdot 0 = 6 - 0 = 6$. Получаем решение $(0; 6)$.
2. Если $x = 2$, то $y = 6 - 1.5 \cdot 2 = 6 - 3 = 3$. Получаем решение $(2; 3)$.
3. Если $x = 4$, то $y = 6 - 1.5 \cdot 4 = 6 - 6 = 0$. Получаем решение $(4; 0)$.
Ответ: $y = 6 - 1.5x$; например, решения $(0; 6)$, $(2; 3)$ и $(4; 0)$.

б) Дано уравнение $5y - 2x = 1$.
Чтобы выразить переменную $y$ через $x$, перенесем $-2x$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$5y = 1 + 2x$
Теперь разделим обе части уравнения на 5:
$y = \frac{1 + 2x}{5}$
Используя полученную формулу, найдем три решения. Для удобства будем подбирать такие значения $x$, при которых выражение в числителе $(1 + 2x)$ будет делиться на 5 без остатка.
1. Если $x = 2$, то $y = \frac{1 + 2 \cdot 2}{5} = \frac{1 + 4}{5} = \frac{5}{5} = 1$. Получаем решение $(2; 1)$.
2. Если $x = 7$, то $y = \frac{1 + 2 \cdot 7}{5} = \frac{1 + 14}{5} = \frac{15}{5} = 3$. Получаем решение $(7; 3)$.
3. Если $x = -3$, то $y = \frac{1 + 2 \cdot (-3)}{5} = \frac{1 - 6}{5} = \frac{-5}{5} = -1$. Получаем решение $(-3; -1)$.
Ответ: $y = \frac{1+2x}{5}$; например, решения $(2; 1)$, $(7; 3)$ и $(-3; -1)$.

1034. Среди решений уравнения $x + 2y = 18$ найдите такую пару, которая составлена из двух одинаковых чисел.

Дано уравнение $x + 2y = 18$. Требуется найти пару чисел $(x, y)$, которая является решением этого уравнения и при этом удовлетворяет условию, что оба числа в паре одинаковы, то есть $x = y$.

Для решения этой задачи мы можем подставить условие $x = y$ в исходное уравнение. Заменим переменную $y$ на $x$:

$x + 2(x) = 18$

Теперь мы получили уравнение с одной переменной. Решим его:

$x + 2x = 18$
$3x = 18$
$x = \frac{18}{3}$
$x = 6$

Поскольку мы исходили из условия $x = y$, то значение $y$ также равно 6.

$y = 6$

Таким образом, искомая пара чисел, составленная из двух одинаковых чисел, — это $(6, 6)$.

Проверим, является ли эта пара решением исходного уравнения, подставив значения $x=6$ и $y=6$:

$6 + 2 \cdot 6 = 18$
$6 + 12 = 18$
$18 = 18$

Равенство верное, следовательно, найденная пара является решением.

Ответ: $(6, 6)$.

1027. Пары значений переменных x и y указаны в таблице:

x: -5, -4, -3, -1, 0, 4, 5

y: 0, 3, 4, -3, -5, -3, 0

Какие из них являются решениями уравнения:

а) $2x + y = -5$;

б) $x + 3y = -5?$

Чтобы определить, какие из пар $(x; y)$ являются решениями уравнений, подставим поочередно каждую пару значений из таблицы в левую часть уравнений и сравним результат с правой частью.

Пары значений из таблицы: $(-5; 0)$, $(-4; 3)$, $(-3; 4)$, $(-1; -3)$, $(0; -5)$, $(4; -3)$, $(5; 0)$.

Проверим каждую пару для уравнения $2x + y = -5$:

• При $x = -5, y = 0$: $2 \cdot (-5) + 0 = -10 + 0 = -10$. Равенство $-10 = -5$ неверно.
• При $x = -4, y = 3$: $2 \cdot (-4) + 3 = -8 + 3 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно.
• При $x = -3, y = 4$: $2 \cdot (-3) + 4 = -6 + 4 = -2$. Равенство $-2 = -5$ неверно.
• При $x = -1, y = -3$: $2 \cdot (-1) + (-3) = -2 - 3 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно.
• При $x = 0, y = -5$: $2 \cdot 0 + (-5) = 0 - 5 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно.
• При $x = 4, y = -3$: $2 \cdot 4 + (-3) = 8 - 3 = 5$. Равенство $5 = -5$ неверно.
• При $x = 5, y = 0$: $2 \cdot 5 + 0 = 10$. Равенство $10 = -5$ неверно.

Таким образом, решениями уравнения $2x + y = -5$ являются пары, для которых равенство выполнилось.

Ответ: $(-4; 3)$, $(-1; -3)$, $(0; -5)$.

Проверим каждую пару для уравнения $x + 3y = -5$:

• При $x = -5, y = 0$: $-5 + 3 \cdot 0 = -5 + 0 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно.
• При $x = -4, y = 3$: $-4 + 3 \cdot 3 = -4 + 9 = 5$. Равенство $5 = -5$ неверно.
• При $x = -3, y = 4$: $-3 + 3 \cdot 4 = -3 + 12 = 9$. Равенство $9 = -5$ неверно.
• При $x = -1, y = -3$: $-1 + 3 \cdot (-3) = -1 - 9 = -10$. Равенство $-10 = -5$ неверно.
• При $x = 0, y = -5$: $0 + 3 \cdot (-5) = -15$. Равенство $-15 = -5$ неверно.
• При $x = 4, y = -3$: $4 + 3 \cdot (-3) = 4 - 9 = -5$. Равенство $-5 = -5$ верно.
• При $x = 5, y = 0$: $5 + 3 \cdot 0 = 5$. Равенство $5 = -5$ неверно.

Таким образом, решениями уравнения $x + 3y = -5$ являются пары, для которых равенство выполнилось.

Ответ: $(-5; 0)$, $(4; -3)$.

1030. Из линейного уравнения $4x - 3y = 12$ выразите:

a) $y$ через $x$;

б) $x$ через $y$.

а) y через x;

Чтобы выразить переменную y через переменную x в данном линейном уравнении $4x - 3y = 12$, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования, чтобы изолировать y в одной из частей уравнения.

1. Начнем с исходного уравнения:
$4x - 3y = 12$

2. Перенесем член, содержащий x, в правую часть уравнения. При переносе через знак равенства знак члена меняется на противоположный:
$-3y = 12 - 4x$

3. Чтобы сделать коэффициент при y положительным, умножим обе части уравнения на $-1$:
$(-1) \cdot (-3y) = (-1) \cdot (12 - 4x)$
$3y = -12 + 4x$

4. Для удобства восприятия поменяем слагаемые в правой части местами:
$3y = 4x - 12$

5. Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при y, то есть на 3:
$\frac{3y}{3} = \frac{4x - 12}{3}$
$y = \frac{4x - 12}{3}$

Это выражение можно также представить в виде линейной функции $y = kx + b$, почленно разделив числитель на знаменатель:
$y = \frac{4x}{3} - \frac{12}{3}$
$y = \frac{4}{3}x - 4$

Ответ: $y = \frac{4}{3}x - 4$

б) x через y.

Чтобы выразить переменную x через переменную y из того же уравнения $4x - 3y = 12$, проделаем аналогичные шаги, но теперь будем изолировать x.

1. Исходное уравнение:
$4x - 3y = 12$

2. Перенесем член, содержащий y, в правую часть уравнения, изменив его знак:
$4x = 12 + 3y$

3. Разделим обе части уравнения на коэффициент при x, то есть на 4:
$\frac{4x}{4} = \frac{12 + 3y}{4}$
$x = \frac{12 + 3y}{4}$

Также представим выражение в виде $x = my + c$, разделив каждый член числителя на знаменатель:
$x = \frac{12}{4} + \frac{3y}{4}$
$x = 3 + \frac{3}{4}y$

Ответ: $x = \frac{3}{4}y + 3$