Страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

995. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

a) $(a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5);$

б) $(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) - (2x^2 + 7x + 17)(x - 4).$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо упростить его. Если в результате упрощения все члены с переменной сократятся и останется только числовое значение, то утверждение будет доказано.
Упростим выражение $(a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5)$.
Для этого сначала раскроем скобки, перемножив многочлены.
Раскроем первое произведение:
$(a - 3)(a^2 - 8a + 5) = a \cdot a^2 + a \cdot (-8a) + a \cdot 5 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot (-8a) - 3 \cdot 5 = a^3 - 8a^2 + 5a - 3a^2 + 24a - 15$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-8a^2 - 3a^2) + (5a + 24a) - 15 = a^3 - 11a^2 + 29a - 15$.
Раскроем второе произведение:
$(a - 8)(a^2 - 3a + 5) = a \cdot a^2 + a \cdot (-3a) + a \cdot 5 - 8 \cdot a^2 - 8 \cdot (-3a) - 8 \cdot 5 = a^3 - 3a^2 + 5a - 8a^2 + 24a - 40$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-3a^2 - 8a^2) + (5a + 24a) - 40 = a^3 - 11a^2 + 29a - 40$.
Теперь выполним вычитание полученных выражений:
$(a^3 - 11a^2 + 29a - 15) - (a^3 - 11a^2 + 29a - 40) = a^3 - 11a^2 + 29a - 15 - a^3 + 11a^2 - 29a + 40$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(a^3 - a^3) + (-11a^2 + 11a^2) + (29a - 29a) + (-15 + 40) = 0 + 0 + 0 + 25 = 25$.
В результате упрощения мы получили число $25$. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: $25$.

б) Аналогично предыдущему пункту, упростим выражение $(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) - (2x^2 + 7x + 17)(x - 4)$.
Раскроем первое произведение:
$(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) = x^2 \cdot (2x) + x^2 \cdot 5 - 3x \cdot (2x) - 3x \cdot 5 + 2 \cdot (2x) + 2 \cdot 5 = 2x^3 + 5x^2 - 6x^2 - 15x + 4x + 10$.
Приведем подобные слагаемые:
$2x^3 + (5x^2 - 6x^2) + (-15x + 4x) + 10 = 2x^3 - x^2 - 11x + 10$.
Раскроем второе произведение:
$(2x^2 + 7x + 17)(x - 4) = 2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-4) + 7x \cdot x + 7x \cdot (-4) + 17 \cdot x + 17 \cdot (-4) = 2x^3 - 8x^2 + 7x^2 - 28x + 17x - 68$.
Приведем подобные слагаемые:
$2x^3 + (-8x^2 + 7x^2) + (-28x + 17x) - 68 = 2x^3 - x^2 - 11x - 68$.
Выполним вычитание:
$(2x^3 - x^2 - 11x + 10) - (2x^3 - x^2 - 11x - 68) = 2x^3 - x^2 - 11x + 10 - 2x^3 + x^2 + 11x + 68$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(2x^3 - 2x^3) + (-x^2 + x^2) + (-11x + 11x) + (10 + 68) = 0 + 0 + 0 + 78 = 78$.
В результате упрощения мы получили число $78$. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: $78$.

998. Упростите выражение:

а) $(a + 8)^2 - 2(a + 8)(a - 2) + (a - 2)^2;$

б) $(y - 7)^2 - 2(y - 7)(y - 9) + (y - 9)^2.$

а) Чтобы упростить выражение $(a + 8)^2 - 2(a + 8)(a - 2) + (a - 2)^2$, заметим, что оно соответствует формуле квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

В данном случае, пусть $x = (a + 8)$ и $y = (a - 2)$.

Тогда мы можем свернуть исходное выражение по этой формуле:

$((a + 8) - (a - 2))^2$

Теперь раскроем скобки внутри и приведем подобные слагаемые:

$(a + 8 - a + 2)^2 = ( (a - a) + (8 + 2) )^2 = (0 + 10)^2 = 10^2$

Вычислим квадрат:

$10^2 = 100$

Ответ: 100

б) Выражение $(y - 7)^2 - 2(y - 7)(y - 9) + (y - 9)^2$ также является полным квадратом разности, который можно упростить с помощью той же формулы $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.

Здесь, пусть $x = (y - 7)$ и $y = (y - 9)$.

Свернем выражение:

$((y - 7) - (y - 9))^2$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(y - 7 - y + 9)^2 = ( (y - y) + (-7 + 9) )^2 = (0 + 2)^2 = 2^2$

Вычислим квадрат:

$2^2 = 4$

Ответ: 4

1001. Докажите тождество:

a) $(a + b)^2 (a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b) = (a - b)^3;$

б) $(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b) = (a + b)^3.$

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. В выражении $(a + b)^2(a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b)$ заметим, что $b - a = -(a - b)$.

Подставим это в выражение:

$(a + b)^2(a - b) - 2ab(-(a - b)) - 6ab(a - b) = (a + b)^2(a - b) + 2ab(a - b) - 6ab(a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)((a + b)^2 + 2ab - 6ab)$

Раскроем скобки $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и упростим выражение во второй скобке:

$(a - b)(a^2 + 2ab + b^2 + 2ab - 6ab)$

Приведем подобные слагаемые:

$(a - b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Выражение во второй скобке является формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Таким образом, получаем:

$(a - b)(a - b)^2 = (a - b)^3$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Преобразуем левую часть тождества $(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b)$. Заметим, что $-a - b = -(a + b)$.

Подставим это в выражение:

$(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-(a + b)) = (a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) + 2ab(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)((a - b)^2 + 2ab + 2ab)$

Раскроем скобки $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и упростим выражение во второй скобке:

$(a + b)(a^2 - 2ab + b^2 + 2ab + 2ab)$

Приведем подобные слагаемые:

$(a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$

Выражение во второй скобке является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Таким образом, получаем:

$(a + b)(a + b)^2 = (a + b)^3$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

1004. В книге Леонарда Эйлера (XVIII в.) используется тождество

$(p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2) = (pr + cqs)^2 + c(ps - qr)^2.$

Докажите его.

Для доказательства данного тождества необходимо показать, что его левая и правая части равны. Для этого выполним преобразования обеих частей по отдельности.

Преобразование левой части

Раскроем скобки в выражении $(p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2)$, выполнив умножение многочленов:

$(p^2 + cq^2)(r^2 + cs^2) = p^2 \cdot r^2 + p^2 \cdot cs^2 + cq^2 \cdot r^2 + cq^2 \cdot cs^2 = p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Преобразование правой части

Раскроем скобки в выражении $(pr + cqs)^2 + c(ps - qr)^2$, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сначала раскроем первое слагаемое:

$(pr + cqs)^2 = (pr)^2 + 2(pr)(cqs) + (cqs)^2 = p^2r^2 + 2cpqrs + c^2q^2s^2$.

Теперь раскроем второе слагаемое:

$c(ps - qr)^2 = c((ps)^2 - 2(ps)(qr) + (qr)^2) = c(p^2s^2 - 2pqrs + q^2r^2) = cp^2s^2 - 2cpqrs + cq^2r^2$.

Сложим полученные выражения, чтобы найти правую часть:

$(p^2r^2 + 2cpqrs + c^2q^2s^2) + (cp^2s^2 - 2cpqrs + cq^2r^2)$.

Приведем подобные слагаемые. Члены $2cpqrs$ и $-2cpqrs$ взаимно уничтожаются:

$p^2r^2 + c^2q^2s^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2$.

Для удобства сравнения сгруппируем слагаемые в том же порядке, что и в левой части:

$p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Заключение

Сравнивая результаты преобразований, мы видим, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению:

Левая часть: $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Правая часть: $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

Поскольку левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать. После алгебраических преобразований обе части равенства приводятся к одному и тому же виду: $p^2r^2 + cp^2s^2 + cq^2r^2 + c^2q^2s^2$.

993. Докажите, что функция, заданная формулой $y = (2x - 5)(3 + 8x) - (1 - 4x)^2$, линейная. Принадлежит ли графику этой функции точка A (-1; 10)? точка B (0; 16)?

Докажите, что функция, заданная формулой $y=(2x - 5)(3 + 8x) - (1 - 4x)^2$, линейная.

Для того чтобы доказать, что функция является линейной, необходимо привести ее к стандартному виду $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа. Для этого упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Раскроем произведение первых двух скобок:
$(2x - 5)(3 + 8x) = 2x \cdot 3 + 2x \cdot 8x - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 8x = 6x + 16x^2 - 15 - 40x = 16x^2 - 34x - 15$.

2. Возведем в квадрат выражение по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(1 - 4x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 4x + (4x)^2 = 1 - 8x + 16x^2$.

3. Подставим полученные выражения в исходную формулу функции:
$y = (16x^2 - 34x - 15) - (1 - 8x + 16x^2)$.

4. Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:
$y = 16x^2 - 34x - 15 - 1 + 8x - 16x^2$
$y = (16x^2 - 16x^2) + (-34x + 8x) + (-15 - 1)$
$y = -26x - 16$.

В результате упрощения мы получили уравнение $y = -26x - 16$, которое соответствует виду линейной функции $y = kx + b$, где $k = -26$ и $b = -16$. Это доказывает, что исходная функция является линейной.
Ответ: функция является линейной, так как ее можно привести к виду $y = -26x - 16$.

Принадлежит ли графику этой функции точка А(-1; 10)?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка $A(-1; 10)$ графику функции $y = -26x - 16$, нужно подставить координаты точки в уравнение функции. Подставим $x = -1$ и проверим, получится ли $y = 10$.
$y = -26 \cdot (-1) - 16$
$y = 26 - 16$
$y = 10$.
Полученное значение $y=10$ совпадает с ординатой точки А. Следовательно, точка А принадлежит графику функции.
Ответ: да, принадлежит.

Принадлежит ли графику этой функции точка B(0; 16)?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка $B(0; 16)$ графику функции $y = -26x - 16$, подставим ее координаты в уравнение. Подставим $x = 0$ и проверим, получится ли $y = 16$.
$y = -26 \cdot 0 - 16$
$y = 0 - 16$
$y = -16$.
Полученное значение $y=-16$ не совпадает с ординатой точки B, которая равна 16 ($ -16 \neq 16 $). Следовательно, точка B не принадлежит графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.

996. Докажите тождество

$(a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2) = (ac + bd)(ad + bc)$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части, чтобы показать, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразование левой части

Рассмотрим левую часть тождества:

$(a^2 + b^2)(ab + cd) - ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)$

Сначала раскроем скобки в первом произведении:

$(a^2 + b^2)(ab + cd) = a^2 \cdot ab + a^2 \cdot cd + b^2 \cdot ab + b^2 \cdot cd = a^3b + a^2cd + ab^3 + b^2cd$

Теперь раскроем скобки во втором члене выражения:

$-ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2) = -ab \cdot a^2 - ab \cdot b^2 - ab \cdot (-c^2) - ab \cdot (-d^2) = -a^3b - ab^3 + abc^2 + abd^2$

Сложим полученные результаты:

$(a^3b + a^2cd + ab^3 + b^2cd) + (-a^3b - ab^3 + abc^2 + abd^2)$

Приведем подобные слагаемые. Члены $a^3b$ и $-a^3b$, а также $ab^3$ и $-ab^3$ взаимно уничтожаются:

$(a^3b - a^3b) + (ab^3 - ab^3) + a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2 = a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$

Итак, левая часть равна $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$.

Преобразование правой части

Рассмотрим правую часть тождества:

$(ac + bd)(ad + bc)$

Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$ac \cdot ad + ac \cdot bc + bd \cdot ad + bd \cdot bc = a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd$

Итак, правая часть равна $a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd$.

Сравнение частей

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они состоят из одних и тех же слагаемых, отличаясь лишь их порядком:

Левая часть: $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2$

Правая часть: $a^2cd + abc^2 + abd^2 + b^2cd$

Поскольку от перестановки слагаемых сумма не меняется, левая часть равна правой. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

999. Упростите:

а) $2(a^2 - 1)^2 - (a^2 + 3)(a^2 - 3) - \frac{1}{2}(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3);$

б) $4(m^3 - 3)^2 - (m^2 - 6)(m^2 + 6) - 9(8 - m + m^2)(1 - m).$

а) $2(a^2 - 1)^2 - (a^2 + 3)(a^2 - 3) - \frac{1}{2}(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3)$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть все скобки, используя формулы сокращенного умножения и правило умножения многочленов, а затем привести подобные слагаемые.

1. Упростим первое слагаемое $2(a^2 - 1)^2$, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$2(a^2 - 1)^2 = 2((a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2) = 2(a^4 - 2a^2 + 1) = 2a^4 - 4a^2 + 2$.

2. Упростим второе слагаемое $-(a^2 + 3)(a^2 - 3)$, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$-(a^2 + 3)(a^2 - 3) = -((a^2)^2 - 3^2) = -(a^4 - 9) = -a^4 + 9$.

3. Упростим третье слагаемое $-\frac{1}{2}(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3)$. Сначала перемножим многочлены:

$(a^2 + a - 4)(2a^2 + 3) = a^2(2a^2 + 3) + a(2a^2 + 3) - 4(2a^2 + 3) = 2a^4 + 3a^2 + 2a^3 + 3a - 8a^2 - 12$.

Приведем подобные члены в полученном выражении:

$2a^4 + 2a^3 + (3a^2 - 8a^2) + 3a - 12 = 2a^4 + 2a^3 - 5a^2 + 3a - 12$.

Теперь умножим результат на $-\frac{1}{2}$:

$-\frac{1}{2}(2a^4 + 2a^3 - 5a^2 + 3a - 12) = -a^4 - a^3 + \frac{5}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 6$.

4. Сложим все полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(2a^4 - 4a^2 + 2) + (-a^4 + 9) + (-a^4 - a^3 + \frac{5}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 6) = $

$= (2a^4 - a^4 - a^4) - a^3 + (-4a^2 + \frac{5}{2}a^2) - \frac{3}{2}a + (2 + 9 + 6) = $

$= 0 \cdot a^4 - a^3 + (-\frac{8}{2}a^2 + \frac{5}{2}a^2) - \frac{3}{2}a + 17 = -a^3 - \frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 17$.

Ответ: $-a^3 - \frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 17$.

б) $4(m^3 - 3)^2 - (m^2 - 6)(m^2 + 6) - 9(8 - m + m^2)(1 - m)$

Упростим выражение по частям, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

1. Упростим первое слагаемое $4(m^3 - 3)^2$, используя формулу квадрата разности:

$4(m^3 - 3)^2 = 4((m^3)^2 - 2 \cdot m^3 \cdot 3 + 3^2) = 4(m^6 - 6m^3 + 9) = 4m^6 - 24m^3 + 36$.

2. Упростим второе слагаемое $-(m^2 - 6)(m^2 + 6)$, используя формулу разности квадратов:

$-(m^2 - 6)(m^2 + 6) = -((m^2)^2 - 6^2) = -(m^4 - 36) = -m^4 + 36$.

3. Упростим третье слагаемое $-9(8 - m + m^2)(1 - m)$. Сначала перемножим многочлены, для удобства записав их в стандартном виде $(m^2 - m + 8)(1 - m)$:

$(m^2 - m + 8)(1 - m) = m^2(1) + m^2(-m) - m(1) - m(-m) + 8(1) + 8(-m) = m^2 - m^3 - m + m^2 + 8 - 8m$.

Приведем подобные члены:

$-m^3 + (m^2 + m^2) + (-m - 8m) + 8 = -m^3 + 2m^2 - 9m + 8$.

Теперь умножим результат на $-9$:

$-9(-m^3 + 2m^2 - 9m + 8) = 9m^3 - 18m^2 + 81m - 72$.

4. Сложим все полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(4m^6 - 24m^3 + 36) + (-m^4 + 36) + (9m^3 - 18m^2 + 81m - 72) = $

$= 4m^6 - m^4 + (-24m^3 + 9m^3) - 18m^2 + 81m + (36 + 36 - 72) = $

$= 4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m + 0 = 4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m$.

Ответ: $4m^6 - m^4 - 15m^3 - 18m^2 + 81m$.

1002. Докажите тождество

$(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) - (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = 2b^6$

Для доказательства данного тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Левая часть представляет собой разность двух выражений.

1. Упростим первое выражение: $(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.

Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

В данном случае $x = a^2$ и $y = b^2$. Применив формулу, получаем:

$(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) = (a^2)^3 + (b^2)^3 = a^6 + b^6$.

2. Упростим второе выражение: $(a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$.

Это выражение соответствует формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном случае $x = a^3$ и $y = b^3$. Применив формулу, получаем:

$(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6 - b^6$.

3. Теперь подставим упрощенные выражения обратно в левую часть исходного тождества:

$(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) - (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a^6 + b^6) - (a^6 - b^6)$.

Раскроем скобки. Важно учесть знак минуса перед второй скобкой:

$a^6 + b^6 - a^6 + b^6$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^6 - a^6) + (b^6 + b^6) = 0 + 2b^6 = 2b^6$.

В результате преобразования левой части мы получили $2b^6$, что в точности равно правой части исходного выражения.

Таким образом, $2b^6 = 2b^6$, и тождество доказано.

Ответ: тождество доказано, так как после упрощения левой части с помощью формул суммы кубов и разности квадратов получается $2b^6$, что равно правой части.

994. Найдите значение выражения:

а) $(3n - 1)(n + 1) + (2n - 1)(n - 1) - (3n + 5)(n - 2)$ при $n = -3,5$;

б) $(5y - 1)(2 - y) - (3y + 4)(1 - y) + (2y + 6)(y - 3)$ при $y = 4$.

а) Чтобы найти значение выражения при $n = -3,5$, сначала упростим его. Для этого раскроем скобки, последовательно перемножая многочлены.

1. Раскроем первую пару скобок:

$(3n - 1)(n + 1) = 3n \cdot n + 3n \cdot 1 - 1 \cdot n - 1 \cdot 1 = 3n^2 + 3n - n - 1 = 3n^2 + 2n - 1$

2. Раскроем вторую пару скобок:

$(2n - 1)(n - 1) = 2n \cdot n + 2n \cdot (-1) - 1 \cdot n - 1 \cdot (-1) = 2n^2 - 2n - n + 1 = 2n^2 - 3n + 1$

3. Раскроем третью пару скобок:

$(3n + 5)(n - 2) = 3n \cdot n + 3n \cdot (-2) + 5 \cdot n + 5 \cdot (-2) = 3n^2 - 6n + 5n - 10 = 3n^2 - n - 10$

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(3n^2 + 2n - 1) + (2n^2 - 3n + 1) - (3n^2 - n - 10)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3n^2 + 2n - 1 + 2n^2 - 3n + 1 - 3n^2 + n + 10$

Сгруппируем слагаемые с одинаковой степенью $n$:

$(3n^2 + 2n^2 - 3n^2) + (2n - 3n + n) + (-1 + 1 + 10) = 2n^2 + 0 \cdot n + 10 = 2n^2 + 10$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $n = -3,5$:

$2 \cdot (-3,5)^2 + 10 = 2 \cdot 12,25 + 10 = 24,5 + 10 = 34,5$

Ответ: $34,5$.

б) Чтобы найти значение выражения при $y = 4$, сначала упростим его. Для этого раскроем скобки, последовательно перемножая многочлены.

1. Раскроем первую пару скобок:

$(5y - 1)(2 - y) = 5y \cdot 2 + 5y \cdot (-y) - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-y) = 10y - 5y^2 - 2 + y = -5y^2 + 11y - 2$

2. Раскроем вторую пару скобок:

$(3y + 4)(1 - y) = 3y \cdot 1 + 3y \cdot (-y) + 4 \cdot 1 + 4 \cdot (-y) = 3y - 3y^2 + 4 - 4y = -3y^2 - y + 4$

3. Раскроем третью пару скобок. Обратим внимание, что $(2y+6) = 2(y+3)$, тогда выражение $(2y+6)(y-3)$ можно представить как $2(y+3)(y-3)$, что является формулой разности квадратов:

$(2y + 6)(y - 3) = 2(y+3)(y-3) = 2(y^2 - 3^2) = 2(y^2 - 9) = 2y^2 - 18$

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(-5y^2 + 11y - 2) - (-3y^2 - y + 4) + (2y^2 - 18)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$-5y^2 + 11y - 2 + 3y^2 + y - 4 + 2y^2 - 18$

Сгруппируем слагаемые с одинаковой степенью $y$:

$(-5y^2 + 3y^2 + 2y^2) + (11y + y) + (-2 - 4 - 18) = 0 \cdot y^2 + 12y - 24 = 12y - 24$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $y = 4$:

$12 \cdot 4 - 24 = 48 - 24 = 24$

Ответ: $24$.

997. Докажите, что значение выражения

$$(b+c-2a)(c-b)+(c+a-2b)(a-c)-(a+b-2c)(a-b)$$

при любых значениях $a$, $b$ и $c$ равно 0.

Чтобы доказать, что значение заданного выражения равно 0 при любых значениях a, b и c, необходимо упростить это выражение, выполнив умножение многочленов и приведя подобные слагаемые.

Рассмотрим каждое слагаемое выражения по отдельности.

1. Упростим первое слагаемое $(b + c - 2a)(c - b)$:
$(b + c - 2a)(c - b) = b \cdot c + b \cdot (-b) + c \cdot c + c \cdot (-b) - 2a \cdot c - 2a \cdot (-b) = bc - b^2 + c^2 - bc - 2ac + 2ab$.
После приведения подобных слагаемых ($bc$ и $-bc$ сокращаются) получаем: $c^2 - b^2 + 2ab - 2ac$.

2. Упростим второе слагаемое $(c + a - 2b)(a - c)$:
$(c + a - 2b)(a - c) = c \cdot a + c \cdot (-c) + a \cdot a + a \cdot (-c) - 2b \cdot a - 2b \cdot (-c) = ac - c^2 + a^2 - ac - 2ab + 2bc$.
После приведения подобных слагаемых ($ac$ и $-ac$ сокращаются) получаем: $a^2 - c^2 - 2ab + 2bc$.

3. Упростим третий член $-(a + b - 2c)(a - b)$:
Сначала раскроем скобки $(a + b - 2c)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 - 2ca + 2cb = a^2 - b^2 - 2ac + 2bc$.
Теперь, применяя знак минус, который стоит перед произведением, получаем: $-(a^2 - b^2 - 2ac + 2bc) = -a^2 + b^2 + 2ac - 2bc$.

Теперь сложим все три полученных выражения:
$(c^2 - b^2 + 2ab - 2ac) + (a^2 - c^2 - 2ab + 2bc) + (-a^2 + b^2 + 2ac - 2bc)$.

Уберем скобки и сгруппируем подобные слагаемые для их взаимного уничтожения:
$c^2 - b^2 + 2ab - 2ac + a^2 - c^2 - 2ab + 2bc - a^2 + b^2 + 2ac - 2bc$
$= (a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + (c^2 - c^2) + (2ab - 2ab) + (-2ac + 2ac) + (2bc - 2bc)$
$= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

Так как в результате всех преобразований мы получили 0, утверждение доказано.

Ответ: 0.

1000. Представьте в виде многочлена

$(a(a + 2b) + b^2)(a(a - 2b) + b^2)((a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2).$

Чтобы представить данное выражение в виде многочлена, необходимо последовательно упростить его части, используя формулы сокращенного умножения.

Исходное выражение: $(a(a + 2b) + b^2)(a(a - 2b) + b^2)((a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2)$.

1. Упростим первый множитель: $a(a + 2b) + b^2$. Раскроем скобки:

$a^2 + 2ab + b^2$.

Это формула квадрата суммы: $(a + b)^2$.

2. Упростим второй множитель: $a(a - 2b) + b^2$. Раскроем скобки:

$a^2 - 2ab + b^2$.

Это формула квадрата разности: $(a - b)^2$.

3. Упростим третий множитель: $(a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2$. Раскроем квадрат разности:

$(a^2)^2 - 2a^2b^2 + (b^2)^2 + 4a^2b^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4 + 4a^2b^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + 2a^2b^2 + b^4$.

Это формула квадрата суммы: $(a^2 + b^2)^2$.

4. Теперь соберем упрощенные множители вместе:

$(a + b)^2 (a - b)^2 (a^2 + b^2)^2$.

5. Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, сгруппируем множители:

$((a + b)(a - b))^2 (a^2 + b^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к выражению $(a+b)(a-b)$:

$(a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2)^2$.

6. Снова сгруппируем множители:

$((a^2 - b^2)(a^2 + b^2))^2$.

Применим формулу разности квадратов еще раз:

$((a^2)^2 - (b^2)^2)^2 = (a^4 - b^4)^2$.

7. Наконец, раскроем полученный квадрат разности:

$(a^4)^2 - 2(a^4)(b^4) + (b^4)^2 = a^8 - 2a^4b^4 + b^8$.

Ответ: $a^8 - 2a^4b^4 + b^8$.

1003. Найдите значение выражения:

а) $(y + 5)(y^2 - 5y + 25) - y(y^2 + 3)$ при $y = -2;$

б) $x(x + 3)^2 - (x - 1)(x^2 + x + 1)$ при $x = -4;$

в) $(2p - 1)(4p^2 + 2p + 1) - p(p - 1)(p + 1)$ при $p = 1,5.$

а) Сначала упростим выражение $(y + 5)(y^2 - 5y + 25) - y(y^2 + 3)$.

Первая часть выражения, $(y + 5)(y^2 - 5y + 25)$, представляет собой формулу суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. В нашем случае $a = y$ и $b = 5$.

Таким образом, $(y + 5)(y^2 - 5y + 25) = y^3 + 5^3 = y^3 + 125$.

Раскроем скобки во второй части выражения: $-y(y^2 + 3) = -y^3 - 3y$.

Теперь объединим упрощенные части:

$(y^3 + 125) + (-y^3 - 3y) = y^3 + 125 - y^3 - 3y$.

Приведем подобные слагаемые: $y^3 - y^3 + 125 - 3y = 125 - 3y$.

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $y = -2$:

$125 - 3y = 125 - 3(-2) = 125 + 6 = 131$.

Ответ: 131

б) Сначала упростим выражение $x(x + 3)^2 - (x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Раскроем квадрат суммы в первой части: $x(x + 3)^2 = x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$.

Вторая часть выражения, $(x - 1)(x^2 + x + 1)$, является формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. В нашем случае $a = x$ и $b = 1$.

Таким образом, $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.

Теперь объединим части в одно выражение:

$(x^3 + 6x^2 + 9x) - (x^3 - 1) = x^3 + 6x^2 + 9x - x^3 + 1$.

Приведем подобные слагаемые: $x^3 - x^3 + 6x^2 + 9x + 1 = 6x^2 + 9x + 1$.

Подставим в упрощенное выражение значение $x = -4$:

$6(-4)^2 + 9(-4) + 1 = 6 \cdot 16 - 36 + 1 = 96 - 36 + 1 = 60 + 1 = 61$.

Ответ: 61

в) Сначала упростим выражение $(2p - 1)(4p^2 + 2p + 1) - p(p - 1)(p + 1)$.

Первая часть, $(2p - 1)(4p^2 + 2p + 1)$, является формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Здесь $a = 2p$ и $b = 1$.

$(2p - 1)((2p)^2 + 2p \cdot 1 + 1^2) = (2p)^3 - 1^3 = 8p^3 - 1$.

Вторая часть выражения содержит произведение $(p - 1)(p + 1)$, что является формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Значит, $(p - 1)(p + 1) = p^2 - 1^2 = p^2 - 1$.

Тогда вторая часть целиком: $-p(p^2 - 1) = -p^3 + p$.

Объединим упрощенные части:

$(8p^3 - 1) + (-p^3 + p) = 8p^3 - 1 - p^3 + p$.

Приведем подобные слагаемые: $8p^3 - p^3 + p - 1 = 7p^3 + p - 1$.

Подставим в упрощенное выражение значение $p = 1,5$:

$7(1,5)^3 + 1,5 - 1 = 7 \cdot 3,375 + 0,5 = 23,625 + 0,5 = 24,125$.

Ответ: 24,125