Номер 995, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 995, страница 196.

Условие.

995. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

a) $(a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5);$

б) $(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) - (2x^2 + 7x + 17)(x - 4).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо упростить его. Если в результате упрощения все члены с переменной сократятся и останется только числовое значение, то утверждение будет доказано.
Упростим выражение $(a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5)$.
Для этого сначала раскроем скобки, перемножив многочлены.
Раскроем первое произведение:
$(a - 3)(a^2 - 8a + 5) = a \cdot a^2 + a \cdot (-8a) + a \cdot 5 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot (-8a) - 3 \cdot 5 = a^3 - 8a^2 + 5a - 3a^2 + 24a - 15$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-8a^2 - 3a^2) + (5a + 24a) - 15 = a^3 - 11a^2 + 29a - 15$.
Раскроем второе произведение:
$(a - 8)(a^2 - 3a + 5) = a \cdot a^2 + a \cdot (-3a) + a \cdot 5 - 8 \cdot a^2 - 8 \cdot (-3a) - 8 \cdot 5 = a^3 - 3a^2 + 5a - 8a^2 + 24a - 40$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-3a^2 - 8a^2) + (5a + 24a) - 40 = a^3 - 11a^2 + 29a - 40$.
Теперь выполним вычитание полученных выражений:
$(a^3 - 11a^2 + 29a - 15) - (a^3 - 11a^2 + 29a - 40) = a^3 - 11a^2 + 29a - 15 - a^3 + 11a^2 - 29a + 40$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(a^3 - a^3) + (-11a^2 + 11a^2) + (29a - 29a) + (-15 + 40) = 0 + 0 + 0 + 25 = 25$.
В результате упрощения мы получили число $25$. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $a$.
Ответ: $25$.

б) Аналогично предыдущему пункту, упростим выражение $(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) - (2x^2 + 7x + 17)(x - 4)$.
Раскроем первое произведение:
$(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) = x^2 \cdot (2x) + x^2 \cdot 5 - 3x \cdot (2x) - 3x \cdot 5 + 2 \cdot (2x) + 2 \cdot 5 = 2x^3 + 5x^2 - 6x^2 - 15x + 4x + 10$.
Приведем подобные слагаемые:
$2x^3 + (5x^2 - 6x^2) + (-15x + 4x) + 10 = 2x^3 - x^2 - 11x + 10$.
Раскроем второе произведение:
$(2x^2 + 7x + 17)(x - 4) = 2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-4) + 7x \cdot x + 7x \cdot (-4) + 17 \cdot x + 17 \cdot (-4) = 2x^3 - 8x^2 + 7x^2 - 28x + 17x - 68$.
Приведем подобные слагаемые:
$2x^3 + (-8x^2 + 7x^2) + (-28x + 17x) - 68 = 2x^3 - x^2 - 11x - 68$.
Выполним вычитание:
$(2x^3 - x^2 - 11x + 10) - (2x^3 - x^2 - 11x - 68) = 2x^3 - x^2 - 11x + 10 - 2x^3 + x^2 + 11x + 68$.
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(2x^3 - 2x^3) + (-x^2 + x^2) + (-11x + 11x) + (10 + 68) = 0 + 0 + 0 + 78 = 78$.
В результате упрощения мы получили число $78$. Это означает, что значение исходного выражения не зависит от значения переменной $x$.
Ответ: $78$.