Номер 989, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 989, страница 195.

Условие.

989. Представьте в виде произведения:

а) $(x + 1)^3 + x^3$;

б) $(y - 2)^3 - 27$;

в) $(a - b)^3 + b^3$;

г) $8x^3 + (x - y)^3$;

д) $27a^3 - (a - b)^3$;

е) $1000 + (b - 8)^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данных задач мы будем использовать формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

а) Представим выражение $(x + 1)^3 + x^3$ в виде произведения, используя формулу суммы кубов.

В данном случае $a = x + 1$ и $b = x$.

Первый множитель (сумма оснований): $(x + 1) + x = 2x + 1$.

Второй множитель (неполный квадрат разности): $(x + 1)^2 - (x + 1)x + x^2$.

Упростим второй множитель:

$(x^2 + 2x + 1) - (x^2 + x) + x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 - x + x^2 = x^2 + x + 1$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$(x + 1)^3 + x^3 = (2x + 1)(x^2 + x + 1)$.

Ответ: $(2x + 1)(x^2 + x + 1)$.

б) Представим выражение $(y - 2)^3 - 27$ в виде произведения. Сначала заметим, что $27 = 3^3$.

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = y - 2$ и $b = 3$.

Первый множитель (разность оснований): $(y - 2) - 3 = y - 5$.

Второй множитель (неполный квадрат суммы): $(y - 2)^2 + (y - 2) \cdot 3 + 3^2$.

Упростим второй множитель:

$(y^2 - 4y + 4) + (3y - 6) + 9 = y^2 - 4y + 3y + 4 - 6 + 9 = y^2 - y + 7$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$(y - 2)^3 - 27 = (y - 5)(y^2 - y + 7)$.

Ответ: $(y - 5)(y^2 - y + 7)$.

в) Представим выражение $(a - b)^3 + b^3$ в виде произведения, используя формулу суммы кубов.

Здесь $A = a - b$ и $B = b$.

Первый множитель: $(a - b) + b = a$.

Второй множитель: $(a - b)^2 - (a - b)b + b^2$.

Упростим второй множитель:

$(a^2 - 2ab + b^2) - (ab - b^2) + b^2 = a^2 - 2ab + b^2 - ab + b^2 + b^2 = a^2 - 3ab + 3b^2$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$(a - b)^3 + b^3 = a(a^2 - 3ab + 3b^2)$.

Ответ: $a(a^2 - 3ab + 3b^2)$.

г) Представим выражение $8x^3 + (x - y)^3$ в виде произведения. Сначала заметим, что $8x^3 = (2x)^3$.

Используем формулу суммы кубов, где $a = 2x$ и $b = x - y$.

Первый множитель: $2x + (x - y) = 3x - y$.

Второй множитель: $(2x)^2 - 2x(x - y) + (x - y)^2$.

Упростим второй множитель:

$4x^2 - (2x^2 - 2xy) + (x^2 - 2xy + y^2) = 4x^2 - 2x^2 + 2xy + x^2 - 2xy + y^2 = 3x^2 + y^2$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$8x^3 + (x - y)^3 = (3x - y)(3x^2 + y^2)$.

Ответ: $(3x - y)(3x^2 + y^2)$.

д) Представим выражение $27a^3 - (a - b)^3$ в виде произведения. Сначала заметим, что $27a^3 = (3a)^3$.

Используем формулу разности кубов, где $A = 3a$ и $B = a - b$.

Первый множитель: $3a - (a - b) = 3a - a + b = 2a + b$.

Второй множитель: $(3a)^2 + 3a(a - b) + (a - b)^2$.

Упростим второй множитель:

$9a^2 + (3a^2 - 3ab) + (a^2 - 2ab + b^2) = 9a^2 + 3a^2 - 3ab + a^2 - 2ab + b^2 = 13a^2 - 5ab + b^2$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$27a^3 - (a - b)^3 = (2a + b)(13a^2 - 5ab + b^2)$.

Ответ: $(2a + b)(13a^2 - 5ab + b^2)$.

е) Представим выражение $1000 + (b - 8)^3$ в виде произведения. Сначала заметим, что $1000 = 10^3$.

Используем формулу суммы кубов, где $a = 10$ и $b = b - 8$.

Первый множитель: $10 + (b - 8) = b + 2$.

Второй множитель: $10^2 - 10(b - 8) + (b - 8)^2$.

Упростим второй множитель:

$100 - (10b - 80) + (b^2 - 16b + 64) = 100 - 10b + 80 + b^2 - 16b + 64 = b^2 - 26b + 244$.

Таким образом, произведение имеет вид:

$1000 + (b - 8)^3 = (b + 2)(b^2 - 26b + 244)$.

Ответ: $(b + 2)(b^2 - 26b + 244)$.