Номер 984, страница 195 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 984, страница 195.

Условие.

984. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

а) $(n + 1)^2 - (n - 1)^2$ делится на 4;

б) $(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2$ делится на 8;

в) $(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится на 12;

г) $(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2$ делится на 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы доказать, что выражение делится на 4, преобразуем его, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном выражении $a = n + 1$, а $b = n - 1$.

$(n + 1)^2 - (n - 1)^2 = ((n + 1) - (n - 1))((n + 1) + (n - 1))$

Теперь упростим каждое из выражений в скобках:

Первая скобка: $(n + 1) - (n - 1) = n + 1 - n + 1 = 2$.

Вторая скобка: $(n + 1) + (n - 1) = n + 1 + n - 1 = 2n$.

Перемножим полученные результаты: $2 \cdot 2n = 4n$.

Поскольку $n$ является натуральным числом, произведение $4n$ всегда будет кратно 4. Таким образом, исходное выражение делится на 4 при любом натуральном $n$.

Ответ: доказано.

б)

Воспользуемся той же формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 2n + 3$, а $b = 2n - 1$.

$(2n + 3)^2 - (2n - 1)^2 = ((2n + 3) - (2n - 1))((2n + 3) + (2n - 1))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $(2n + 3) - (2n - 1) = 2n + 3 - 2n + 1 = 4$.

Вторая скобка: $(2n + 3) + (2n - 1) = 2n + 3 + 2n - 1 = 4n + 2$.

Перемножим результаты: $4 \cdot (4n + 2)$.

Из второй скобки можно вынести общий множитель 2: $4 \cdot 2(2n + 1) = 8(2n + 1)$.

Так как $n$ — натуральное число, то $(2n + 1)$ также является целым числом. Выражение $8(2n + 1)$ представляет собой произведение числа 8 и целого числа, следовательно, оно всегда делится на 8.

Ответ: доказано.

в)

Снова применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В этом случае $a = 3n + 1$, а $b = 3n - 1$.

$(3n + 1)^2 - (3n - 1)^2 = ((3n + 1) - (3n - 1))((3n + 1) + (3n - 1))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $(3n + 1) - (3n - 1) = 3n + 1 - 3n + 1 = 2$.

Вторая скобка: $(3n + 1) + (3n - 1) = 3n + 1 + 3n - 1 = 6n$.

Перемножим полученные выражения: $2 \cdot 6n = 12n$.

Поскольку $n$ — натуральное число, произведение $12n$ всегда будет кратно 12.

Ответ: доказано.

г)

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 5n + 1$, а $b = 2n - 1$.

$(5n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = ((5n + 1) - (2n - 1))((5n + 1) + (2n - 1))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $(5n + 1) - (2n - 1) = 5n + 1 - 2n + 1 = 3n + 2$.

Вторая скобка: $(5n + 1) + (2n - 1) = 5n + 1 + 2n - 1 = 7n$.

Перемножим результаты: $(3n + 2)(7n) = 7n(3n + 2)$.

Так как $n$ — натуральное число, то $n(3n + 2)$ является целым числом. Выражение $7n(3n + 2)$ имеет множитель 7, следовательно, оно всегда делится на 7 при любом натуральном $n$.

Ответ: доказано.