Номер 978, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 978, страница 194.

Условие.

978. Решите уравнение:

а) $(x - 7)^2 + 3 = (x - 2)(x + 2);$

б) $(x + 6)^2 - (x - 5)(x + 5) = 79;$

в) $(2x - 3)^2 - (7 - 2x)^2 = 2;$

г) $(5x - 1)^2 - (1 - 3x)^2 = 16x(x - 3).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Исходное уравнение: $(x - 7)^2 + 3 = (x - 2)(x + 2)$.
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2) + 3 = (x - 2)(x + 2)$
$x^2 - 14x + 49 + 3 = (x - 2)(x + 2)$
$x^2 - 14x + 52 = (x - 2)(x + 2)$
Раскроем скобки в правой части, используя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$x^2 - 14x + 52 = x^2 - 2^2$
$x^2 - 14x + 52 = x^2 - 4$
Теперь перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа - в другую. Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-14x + 52 = -4$
Вычтем 52 из обеих частей:
$-14x = -4 - 52$
$-14x = -56$
Разделим обе части на -14:
$x = \frac{-56}{-14}$
$x = 4$
Ответ: $4$

б) Исходное уравнение: $(x + 6)^2 - (x - 5)(x + 5) = 79$.
Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - (x - 5)(x + 5) = 79$
$(x^2 + 12x + 36) - (x - 5)(x + 5) = 79$
Вторую часть раскроем по формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$x^2 + 12x + 36 - (x^2 - 5^2) = 79$
$x^2 + 12x + 36 - (x^2 - 25) = 79$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:
$x^2 + 12x + 36 - x^2 + 25 = 79$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + 12x + (36 + 25) = 79$
$12x + 61 = 79$
Вычтем 61 из обеих частей:
$12x = 79 - 61$
$12x = 18$
Разделим обе части на 12:
$x = \frac{18}{12}$
Сократим дробь на 6:
$x = \frac{3}{2} = 1.5$
Ответ: $1.5$

в) Исходное уравнение: $(2x - 3)^2 - (7 - 2x)^2 = 2$.
Левая часть уравнения представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = 2x - 3$ и $b = 7 - 2x$. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((2x - 3) - (7 - 2x))((2x - 3) + (7 - 2x)) = 2$
Раскроем скобки внутри каждой из больших скобок:
$(2x - 3 - 7 + 2x)(2x - 3 + 7 - 2x) = 2$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(4x - 10)(4) = 2$
Раскроем скобки:
$16x - 40 = 2$
Прибавим 40 к обеим частям:
$16x = 2 + 40$
$16x = 42$
Разделим обе части на 16:
$x = \frac{42}{16}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{21}{8}$
Ответ: $\frac{21}{8}$

г) Исходное уравнение: $(5x - 1)^2 - (1 - 3x)^2 = 16x(x - 3)$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для каждого слагаемого:
$( (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 ) - ( 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2 ) = 16x(x - 3)$
$(25x^2 - 10x + 1) - (1 - 6x + 9x^2) = 16x(x - 3)$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус:
$25x^2 - 10x + 1 - 1 + 6x - 9x^2 = 16x(x - 3)$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(25x^2 - 9x^2) + (-10x + 6x) + (1 - 1) = 16x^2 - 4x$
Теперь раскроем скобки в правой части уравнения:
$16x(x - 3) = 16x^2 - 48x$
Получаем уравнение:
$16x^2 - 4x = 16x^2 - 48x$
Вычтем $16x^2$ из обеих частей:
$-4x = -48x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$-4x + 48x = 0$
$44x = 0$
Разделим обе части на 44:
$x = 0$
Ответ: $0$