Номер 976, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 976, страница 194.

Условие.

976. При каком значении $x$ удвоенное произведение двучленов $x + 2$ и $x - 2$ меньше суммы их квадратов на 16?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи необходимо перевести ее условие на язык математики.

У нас есть два двучлена: $(x+2)$ и $(x-2)$.

1. Найдем их удвоенное произведение:
$2 \cdot (x+2)(x-2)$
Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем:
$2(x^2 - 2^2) = 2(x^2 - 4) = 2x^2 - 8$

2. Найдем сумму их квадратов:
$(x+2)^2 + (x-2)^2$
Используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, получаем:
$(x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 4x + 4 + x^2 - 4x + 4 = 2x^2 + 8$

3. Составим уравнение согласно условию задачи. Условие "удвоенное произведение меньше суммы их квадратов на 16" означает, что если к удвоенному произведению прибавить 16, то результат будет равен сумме квадратов.
(Удвоенное произведение) + 16 = (Сумма квадратов)
$(2x^2 - 8) + 16 = 2x^2 + 8$

4. Решим полученное уравнение:
$2x^2 + 8 = 2x^2 + 8$
Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$2x^2 - 2x^2 = 8 - 8$
$0 = 0$

Альтернативный способ составления уравнения — записать, что разность между суммой квадратов и удвоенным произведением равна 16:
$((x+2)^2 + (x-2)^2) - (2(x+2)(x-2)) = 16$
Левая часть является формулой квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a = x+2$ и $b = x-2$.
$((x+2)-(x-2))^2 = 16$
$(x+2-x+2)^2 = 16$
$(4)^2 = 16$
$16 = 16$

Оба способа приводят к верному числовому равенству $16=16$ (или $0=0$), которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное утверждение является тождеством и выполняется при любом значении $x$.

Ответ: данное условие выполняется при любом значении $x$.