Страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

974. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) $(x - 8)(x + 8) - (x - 12)(x + 12);$

б) $(y - \frac{5}{9})(y + \frac{5}{9}) + (\frac{2}{3} - y)(\frac{2}{3} + y).$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо упростить его. Если в результате упрощения переменная $x$ сократится, то утверждение будет доказано.

Данное выражение состоит из двух частей, каждая из которых представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Для их упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу к первой части выражения: $(x - 8)(x + 8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64$.

Применим эту же формулу ко второй части выражения: $(x - 12)(x + 12) = x^2 - 12^2 = x^2 - 144$.

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(x^2 - 64) - (x^2 - 144)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в ней изменятся на противоположные:

$x^2 - 64 - x^2 + 144$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (144 - 64) = 0 + 80 = 80$

В результате упрощения мы получили число 80. Это значение является константой и не зависит от значения переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 80

б) Упростим данное выражение, используя ту же формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Выражение: $(y - \frac{5}{9})(y + \frac{5}{9}) + (\frac{2}{3} - y)(\frac{2}{3} + y)$.

Упростим первую часть выражения: $(y - \frac{5}{9})(y + \frac{5}{9}) = y^2 - (\frac{5}{9})^2 = y^2 - \frac{25}{81}$.

Упростим вторую часть выражения: $(\frac{2}{3} - y)(\frac{2}{3} + y) = (\frac{2}{3})^2 - y^2 = \frac{4}{9} - y^2$.

Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$(y^2 - \frac{25}{81}) + (\frac{4}{9} - y^2)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$y^2 - \frac{25}{81} + \frac{4}{9} - y^2 = (y^2 - y^2) + (\frac{4}{9} - \frac{25}{81})$

Слагаемые с переменной $y$ взаимно уничтожаются. Остается вычислить значение числового выражения. Приведем дроби к общему знаменателю 81:

$\frac{4}{9} - \frac{25}{81} = \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 9} - \frac{25}{81} = \frac{36}{81} - \frac{25}{81} = \frac{36 - 25}{81} = \frac{11}{81}$

В результате упрощения мы получили число $\frac{11}{81}$. Это значение не зависит от переменной $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{11}{81}$

977. Представьте в виде многочлена:

а) $(x + y + 1)(x + y - 1);$

б) $(m + n - 3)(m + n + 3);$

в) $(a - b - 5)(a - b + 5);$

г) $(c - d + 8)(c - d - 8);$

д) $(p + 2q - 3)(p - 2q - 3);$

е) $(a - 3x + 6)(a + 3x + 6).$

а) $(x + y + 1)(x + y - 1)$

Для решения сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы использовать формулу разности квадратов: $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$.

Представим выражение в виде: $((x + y) + 1)((x + y) - 1)$.

Здесь $A = x + y$ и $B = 1$.

Применяем формулу: $(x + y)^2 - 1^2$.

Теперь раскроем квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Получаем: $x^2 + 2xy + y^2 - 1$.

Ответ: $x^2 + 2xy + y^2 - 1$.

б) $(m + n - 3)(m + n + 3)$

Сгруппируем слагаемые: $((m + n) - 3)((m + n) + 3)$.

Используем формулу разности квадратов, где $A = m + n$ и $B = 3$.

Получаем: $(m + n)^2 - 3^2$.

Раскрываем скобки: $(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$ и $3^2=9$.

Результат: $m^2 + 2mn + n^2 - 9$.

Ответ: $m^2 + 2mn + n^2 - 9$.

в) $(a - b - 5)(a - b + 5)$

Сгруппируем слагаемые: $((a - b) - 5)((a - b) + 5)$.

Используем формулу разности квадратов, где $A = a - b$ и $B = 5$.

Получаем: $(a - b)^2 - 5^2$.

Раскрываем скобки: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $5^2=25$.

Результат: $a^2 - 2ab + b^2 - 25$.

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2 - 25$.

г) $(c - d + 8)(c - d - 8)$

Сгруппируем слагаемые: $((c - d) + 8)((c - d) - 8)$.

Используем формулу разности квадратов, где $A = c - d$ и $B = 8$.

Получаем: $(c - d)^2 - 8^2$.

Раскрываем скобки: $(c - d)^2 = c^2 - 2cd + d^2$ и $8^2=64$.

Результат: $c^2 - 2cd + d^2 - 64$.

Ответ: $c^2 - 2cd + d^2 - 64$.

д) $(p + 2q - 3)(p - 2q - 3)$

Сгруппируем слагаемые, изменив порядок: $((p - 3) + 2q)((p - 3) - 2q)$.

Используем формулу разности квадратов, где $A = p - 3$ и $B = 2q$.

Получаем: $(p - 3)^2 - (2q)^2$.

Раскрываем скобки: $(p - 3)^2 = p^2 - 6p + 9$ и $(2q)^2 = 4q^2$.

Результат: $p^2 - 6p + 9 - 4q^2$.

Ответ: $p^2 - 4q^2 - 6p + 9$.

е) $(a - 3x + 6)(a + 3x + 6)$

Сгруппируем слагаемые, изменив порядок: $((a + 6) - 3x)((a + 6) + 3x)$.

Используем формулу разности квадратов, где $A = a + 6$ и $B = 3x$.

Получаем: $(a + 6)^2 - (3x)^2$.

Раскрываем скобки: $(a + 6)^2 = a^2 + 12a + 36$ и $(3x)^2 = 9x^2$.

Результат: $a^2 + 12a + 36 - 9x^2$.

Ответ: $a^2 - 9x^2 + 12a + 36$.

980. Найдите значение выражения:

а) $\frac{38^2 - 17^2}{72^2 - 16^2}$;

б) $\frac{39.5^2 - 3.5^2}{57.5^2 - 14.5^2}$;

в) $\frac{17.5^2 - 9.5^2}{131.5^2 - 3.5^2}$;

а)

Для решения данного примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби:

$\frac{38^2 - 17^2}{72^2 - 16^2} = \frac{(38 - 17)(38 + 17)}{(72 - 16)(72 + 16)}$

Выполним вычисления в скобках:

$38 - 17 = 21$

$38 + 17 = 55$

$72 - 16 = 56$

$72 + 16 = 88$

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$\frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88}$

Теперь сократим дробь. Можно заметить, что $56 = 7 \cdot 8$ и $21 = 7 \cdot 3$, а также $88 = 11 \cdot 8$ и $55 = 11 \cdot 5$.

$\frac{21 \cdot 55}{56 \cdot 88} = \frac{(7 \cdot 3) \cdot (11 \cdot 5)}{(7 \cdot 8) \cdot (11 \cdot 8)} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 8} = \frac{15}{64}$

Ответ: $\frac{15}{64}$.

б)

Аналогично предыдущему примеру, используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\frac{39,5^2 - 3,5^2}{57,5^2 - 14,5^2} = \frac{(39,5 - 3,5)(39,5 + 3,5)}{(57,5 - 14,5)(57,5 + 14,5)}$

Выполним вычисления в скобках:

$39,5 - 3,5 = 36$

$39,5 + 3,5 = 43$

$57,5 - 14,5 = 43$

$57,5 + 14,5 = 72$

Подставим результаты в дробь:

$\frac{36 \cdot 43}{43 \cdot 72}$

Сократим дробь на общий множитель 43, а затем сократим оставшиеся числа:

$\frac{36}{72} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в)

Снова применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$\frac{17,5^2 - 9,5^2}{131,5^2 - 3,5^2} = \frac{(17,5 - 9,5)(17,5 + 9,5)}{(131,5 - 3,5)(131,5 + 3,5)}$

Выполним действия в скобках:

$17,5 - 9,5 = 8$

$17,5 + 9,5 = 27$

$131,5 - 3,5 = 128$

$131,5 + 3,5 = 135$

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{8 \cdot 27}{128 \cdot 135}$

Сократим полученную дробь. Разделим 8 и 128 на 8. Разделим 27 и 135 на 27.

$\frac{8 \cdot 27}{128 \cdot 135} = \frac{8}{128} \cdot \frac{27}{135} = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{80}$

Ответ: $\frac{1}{80}$.

972. Представьте в виде многочлена:

а) $5y (y^2 - 3)(y^2 + 3);$

б) $-8x (4x - x^3)(4x + x^3);$

в) $(a^4 - 3)(a^4 + 3)(a^8 + 9);$

г) $(1 - b^3)(1 + b^3)(1 + b^6).$

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Сначала применим эту формулу к выражению в скобках $(y^2 - 3)(y^2 + 3)$:

$(y^2 - 3)(y^2 + 3) = (y^2)^2 - 3^2 = y^4 - 9$.

Теперь умножим полученный результат на одночлен $5y$:

$5y(y^4 - 9) = 5y \cdot y^4 - 5y \cdot 9 = 5y^5 - 45y$.

Ответ: $5y^5 - 45y$.

б) Здесь также используем формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для выражения $(4x - x^3)(4x + x^3)$.

$(4x - x^3)(4x + x^3) = (4x)^2 - (x^3)^2 = 16x^2 - x^6$.

Далее умножим полученный двучлен на $-8x$:

$-8x(16x^2 - x^6) = -8x \cdot 16x^2 - (-8x) \cdot x^6 = -128x^3 + 8x^7$.

Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней:

$8x^7 - 128x^3$.

Ответ: $8x^7 - 128x^3$.

в) В этом примере формула разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ применяется дважды.

Сначала перемножим первые две скобки $(a^4 - 3)(a^4 + 3)$:

$(a^4 - 3)(a^4 + 3) = (a^4)^2 - 3^2 = a^8 - 9$.

Теперь исходное выражение выглядит так: $(a^8 - 9)(a^8 + 9)$.

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(a^8 - 9)(a^8 + 9) = (a^8)^2 - 9^2 = a^{16} - 81$.

Ответ: $a^{16} - 81$.

г) Этот пример решается аналогично предыдущему, с двукратным применением формулы разности квадратов.

Умножим первые две скобки $(1 - b^3)(1 + b^3)$:

$(1 - b^3)(1 + b^3) = 1^2 - (b^3)^2 = 1 - b^6$.

Теперь выражение принимает вид: $(1 - b^6)(1 + b^6)$.

Применим формулу разности квадратов еще раз:

$(1 - b^6)(1 + b^6) = 1^2 - (b^6)^2 = 1 - b^{12}$.

Ответ: $1 - b^{12}$.

975. Преобразуйте в многочлен:

a) $(x - 5)^2 + 2x(x - 3)$;

б) $(y + 8)^2 - 4y(y - 2)$;

в) $(a - 4)(a + 4) + (2a - 1)^2$;

г) $(b - 3)(b + 3) - (b + 2)^2$;

д) $(2a - 5)^2 - (5a - 2)^2$;

е) $(3b - 1)^2 + (1 - 3b)^2$;

ж) $(2x + 1)^2 - (x + 7)(x - 3)$;

з) $(3y - 2)^2 - (y - 9)(9 - y)$.

а) $(x - 5)^2 + 2x(x - 3)$

Для преобразования данного выражения в многочлен, раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат двучлен $(x - 5)$ по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а затем раскроем произведение $2x(x - 3)$, умножив $2x$ на каждый член в скобках.

1. $(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$.

2. $2x(x - 3) = 2x \cdot x - 2x \cdot 3 = 2x^2 - 6x$.

Теперь сложим полученные многочлены:

$(x^2 - 10x + 25) + (2x^2 - 6x)$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + 2x^2) + (-10x - 6x) + 25 = 3x^2 - 16x + 25$.

Ответ: $3x^2 - 16x + 25$.

б) $(y + 8)^2 - 4y(y - 2)$

Раскроем скобки. Возведем в квадрат двучлен $(y + 8)$ по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и раскроем произведение $-4y(y - 2)$.

1. $(y + 8)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 8 + 8^2 = y^2 + 16y + 64$.

2. $-4y(y - 2) = -4y \cdot y - 4y \cdot (-2) = -4y^2 + 8y$.

Сложим полученные выражения:

$(y^2 + 16y + 64) + (-4y^2 + 8y)$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - 4y^2) + (16y + 8y) + 64 = -3y^2 + 24y + 64$.

Ответ: $-3y^2 + 24y + 64$.

в) $(a - 4)(a + 4) + (2a - 1)^2$

Используем формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ для первого произведения и формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ для второго слагаемого.

1. $(a - 4)(a + 4) = a^2 - 4^2 = a^2 - 16$.

2. $(2a - 1)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$.

Сложим результаты:

$(a^2 - 16) + (4a^2 - 4a + 1)$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + 4a^2) - 4a + (-16 + 1) = 5a^2 - 4a - 15$.

Ответ: $5a^2 - 4a - 15$.

г) $(b - 3)(b + 3) - (b + 2)^2$

Применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ и формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

1. $(b - 3)(b + 3) = b^2 - 3^2 = b^2 - 9$.

2. $(b + 2)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 2 + 2^2 = b^2 + 4b + 4$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(b^2 - 9) - (b^2 + 4b + 4) = b^2 - 9 - b^2 - 4b - 4$.

Приведем подобные слагаемые:

$(b^2 - b^2) - 4b + (-9 - 4) = -4b - 13$.

Ответ: $-4b - 13$.

д) $(2a - 5)^2 - (5a - 2)^2$

Это выражение представляет собой разность квадратов, поэтому можно использовать формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Пусть $x = 2a - 5$ и $y = 5a - 2$.

$( (2a - 5) - (5a - 2) ) \cdot ( (2a - 5) + (5a - 2) ) = (2a - 5 - 5a + 2)(2a - 5 + 5a - 2)$

Упростим выражения в каждой скобке:

$(-3a - 3)(7a - 7)$

Теперь перемножим эти двучлены:

$-3a \cdot 7a - 3a \cdot (-7) - 3 \cdot 7a - 3 \cdot (-7) = -21a^2 + 21a - 21a + 21 = -21a^2 + 21$.

Альтернативный способ — раскрыть каждый квадрат по отдельности:

$(2a - 5)^2 = 4a^2 - 20a + 25$

$(5a - 2)^2 = 25a^2 - 20a + 4$

$(4a^2 - 20a + 25) - (25a^2 - 20a + 4) = 4a^2 - 20a + 25 - 25a^2 + 20a - 4 = -21a^2 + 21$.

Ответ: $-21a^2 + 21$.

е) $(3b - 1)^2 + (1 - 3b)^2$

Заметим, что $(1 - 3b) = -(3b - 1)$. Так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного числа, $(-(3b - 1))^2 = (3b - 1)^2$.

Выражение можно переписать так:

$(3b - 1)^2 + (3b - 1)^2 = 2(3b - 1)^2$

Теперь раскроем квадрат разности:

$2((3b)^2 - 2 \cdot 3b \cdot 1 + 1^2) = 2(9b^2 - 6b + 1)$

Умножим на 2:

$18b^2 - 12b + 2$.

Ответ: $18b^2 - 12b + 2$.

ж) $(2x + 1)^2 - (x + 7)(x - 3)$

Раскроем квадрат суммы и произведение двучленов.

1. $(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.

2. $(x + 7)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 7 \cdot x + 7 \cdot (-3) = x^2 - 3x + 7x - 21 = x^2 + 4x - 21$.

Вычтем второе выражение из первого:

$(4x^2 + 4x + 1) - (x^2 + 4x - 21) = 4x^2 + 4x + 1 - x^2 - 4x + 21$.

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (1 + 21) = 3x^2 + 22$.

Ответ: $3x^2 + 22$.

з) $(3y - 2)^2 - (y - 9)(9 - y)$

Преобразуем вторую часть выражения. Заметим, что $(9 - y) = -(y - 9)$.

Тогда $(y - 9)(9 - y) = (y - 9)(-(y - 9)) = -(y - 9)^2$.

Исходное выражение принимает вид:

$(3y - 2)^2 - (-(y - 9)^2) = (3y - 2)^2 + (y - 9)^2$.

Теперь раскроем оба квадрата разности:

1. $(3y - 2)^2 = (3y)^2 - 2 \cdot 3y \cdot 2 + 2^2 = 9y^2 - 12y + 4$.

2. $(y - 9)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = y^2 - 18y + 81$.

Сложим полученные многочлены:

$(9y^2 - 12y + 4) + (y^2 - 18y + 81)$

Приведем подобные слагаемые:

$(9y^2 + y^2) + (-12y - 18y) + (4 + 81) = 10y^2 - 30y + 85$.

Ответ: $10y^2 - 30y + 85$.

978. Решите уравнение:

а) $(x - 7)^2 + 3 = (x - 2)(x + 2);$

б) $(x + 6)^2 - (x - 5)(x + 5) = 79;$

в) $(2x - 3)^2 - (7 - 2x)^2 = 2;$

г) $(5x - 1)^2 - (1 - 3x)^2 = 16x(x - 3).$

а) Исходное уравнение: $(x - 7)^2 + 3 = (x - 2)(x + 2)$.
Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2) + 3 = (x - 2)(x + 2)$
$x^2 - 14x + 49 + 3 = (x - 2)(x + 2)$
$x^2 - 14x + 52 = (x - 2)(x + 2)$
Раскроем скобки в правой части, используя формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$x^2 - 14x + 52 = x^2 - 2^2$
$x^2 - 14x + 52 = x^2 - 4$
Теперь перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа - в другую. Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-14x + 52 = -4$
Вычтем 52 из обеих частей:
$-14x = -4 - 52$
$-14x = -56$
Разделим обе части на -14:
$x = \frac{-56}{-14}$
$x = 4$
Ответ: $4$

б) Исходное уравнение: $(x + 6)^2 - (x - 5)(x + 5) = 79$.
Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - (x - 5)(x + 5) = 79$
$(x^2 + 12x + 36) - (x - 5)(x + 5) = 79$
Вторую часть раскроем по формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:
$x^2 + 12x + 36 - (x^2 - 5^2) = 79$
$x^2 + 12x + 36 - (x^2 - 25) = 79$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:
$x^2 + 12x + 36 - x^2 + 25 = 79$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + 12x + (36 + 25) = 79$
$12x + 61 = 79$
Вычтем 61 из обеих частей:
$12x = 79 - 61$
$12x = 18$
Разделим обе части на 12:
$x = \frac{18}{12}$
Сократим дробь на 6:
$x = \frac{3}{2} = 1.5$
Ответ: $1.5$

в) Исходное уравнение: $(2x - 3)^2 - (7 - 2x)^2 = 2$.
Левая часть уравнения представляет собой разность квадратов $a^2 - b^2$, где $a = 2x - 3$ и $b = 7 - 2x$. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((2x - 3) - (7 - 2x))((2x - 3) + (7 - 2x)) = 2$
Раскроем скобки внутри каждой из больших скобок:
$(2x - 3 - 7 + 2x)(2x - 3 + 7 - 2x) = 2$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(4x - 10)(4) = 2$
Раскроем скобки:
$16x - 40 = 2$
Прибавим 40 к обеим частям:
$16x = 2 + 40$
$16x = 42$
Разделим обе части на 16:
$x = \frac{42}{16}$
Сократим дробь на 2:
$x = \frac{21}{8}$
Ответ: $\frac{21}{8}$

г) Исходное уравнение: $(5x - 1)^2 - (1 - 3x)^2 = 16x(x - 3)$.
Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для каждого слагаемого:
$( (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 ) - ( 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2 ) = 16x(x - 3)$
$(25x^2 - 10x + 1) - (1 - 6x + 9x^2) = 16x(x - 3)$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус:
$25x^2 - 10x + 1 - 1 + 6x - 9x^2 = 16x(x - 3)$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(25x^2 - 9x^2) + (-10x + 6x) + (1 - 1) = 16x^2 - 4x$
Теперь раскроем скобки в правой части уравнения:
$16x(x - 3) = 16x^2 - 48x$
Получаем уравнение:
$16x^2 - 4x = 16x^2 - 48x$
Вычтем $16x^2$ из обеих частей:
$-4x = -48x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$-4x + 48x = 0$
$44x = 0$
Разделим обе части на 44:
$x = 0$
Ответ: $0$

981. Представьте в виде произведения:

a) $x^{10} - 1$;

б) $y^{12} - 16$;

в) $a^2x^8 - 81$;

г) $36 - b^4y^6$;

д) $25p^4q^4 - 1$;

е) $-9 + 121m^8n^8$;

ж) $0,01x^{16} - 0,16$;

з) $1,69y^{14} - 1,21$;

и) $\frac{4}{9}m^6 - \frac{25}{36}$.

Для решения всех задач используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Представим выражение $x^{10} - 1$ в виде разности квадратов.

Для этого запишем каждый член выражения как квадрат некоторого одночлена:

$x^{10} = (x^5)^2$

$1 = 1^2$

Теперь выражение имеет вид $(x^5)^2 - 1^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = x^5$ и $b = 1$:

$x^{10} - 1 = (x^5 - 1)(x^5 + 1)$

Ответ: $(x^5 - 1)(x^5 + 1)$.

б) Представим выражение $y^{12} - 16$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$y^{12} = (y^6)^2$

$16 = 4^2$

Применяя формулу, где $a = y^6$ и $b = 4$, получаем:

$y^{12} - 16 = (y^6)^2 - 4^2 = (y^6 - 4)(y^6 + 4)$

Множитель $(y^6 - 4)$ также является разностью квадратов, так как $y^6 = (y^3)^2$ и $4 = 2^2$. Разложим его дальше:

$y^6 - 4 = (y^3)^2 - 2^2 = (y^3 - 2)(y^3 + 2)$

Итоговое разложение:

$(y^3 - 2)(y^3 + 2)(y^6 + 4)$

Ответ: $(y^3 - 2)(y^3 + 2)(y^6 + 4)$.

в) Представим выражение $a^2x^8 - 81$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$a^2x^8 = (ax^4)^2$

$81 = 9^2$

Применяя формулу, где $a = ax^4$ и $b = 9$, получаем:

$a^2x^8 - 81 = (ax^4)^2 - 9^2 = (ax^4 - 9)(ax^4 + 9)$

Ответ: $(ax^4 - 9)(ax^4 + 9)$.

г) Представим выражение $36 - b^4y^6$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$36 = 6^2$

$b^4y^6 = (b^2y^3)^2$

Применяя формулу, где $a = 6$ и $b = b^2y^3$, получаем:

$36 - b^4y^6 = 6^2 - (b^2y^3)^2 = (6 - b^2y^3)(6 + b^2y^3)$

Ответ: $(6 - b^2y^3)(6 + b^2y^3)$.

д) Представим выражение $25p^4q^4 - 1$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$25p^4q^4 = (5p^2q^2)^2$

$1 = 1^2$

Применяя формулу, где $a = 5p^2q^2$ и $b = 1$, получаем:

$25p^4q^4 - 1 = (5p^2q^2)^2 - 1^2 = (5p^2q^2 - 1)(5p^2q^2 + 1)$

Ответ: $(5p^2q^2 - 1)(5p^2q^2 + 1)$.

е) Переставим слагаемые в выражении $-9 + 121m^8n^8$, чтобы получить разность:

$121m^8n^8 - 9$

Теперь представим его в виде разности квадратов. Запишем члены выражения в виде квадратов:

$121m^8n^8 = (11m^4n^4)^2$

$9 = 3^2$

Применяя формулу, где $a = 11m^4n^4$ и $b = 3$, получаем:

$121m^8n^8 - 9 = (11m^4n^4)^2 - 3^2 = (11m^4n^4 - 3)(11m^4n^4 + 3)$

Ответ: $(11m^4n^4 - 3)(11m^4n^4 + 3)$.

ж) Представим выражение $0,01x^{16} - 0,16$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$0,01x^{16} = (0,1x^8)^2$

$0,16 = (0,4)^2$

Применяя формулу, где $a = 0,1x^8$ и $b = 0,4$, получаем:

$0,01x^{16} - 0,16 = (0,1x^8)^2 - (0,4)^2 = (0,1x^8 - 0,4)(0,1x^8 + 0,4)$

Ответ: $(0,1x^8 - 0,4)(0,1x^8 + 0,4)$.

з) Представим выражение $1,69y^{14} - 1,21$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$1,69y^{14} = (1,3y^7)^2$

$1,21 = (1,1)^2$

Применяя формулу, где $a = 1,3y^7$ и $b = 1,1$, получаем:

$1,69y^{14} - 1,21 = (1,3y^7)^2 - (1,1)^2 = (1,3y^7 - 1,1)(1,3y^7 + 1,1)$

Ответ: $(1,3y^7 - 1,1)(1,3y^7 + 1,1)$.

и) Представим выражение $\frac{4}{9}m^6 - \frac{25}{36}$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$\frac{4}{9}m^6 = (\frac{2}{3}m^3)^2$

$\frac{25}{36} = (\frac{5}{6})^2$

Применяя формулу, где $a = \frac{2}{3}m^3$ и $b = \frac{5}{6}$, получаем:

$\frac{4}{9}m^6 - \frac{25}{36} = (\frac{2}{3}m^3)^2 - (\frac{5}{6})^2 = (\frac{2}{3}m^3 - \frac{5}{6})(\frac{2}{3}m^3 + \frac{5}{6})$

Ответ: $(\frac{2}{3}m^3 - \frac{5}{6})(\frac{2}{3}m^3 + \frac{5}{6})$.

973. Упростите выражение:

а) $(a + 2)(a - 2) - a(a - 5);$

б) $(a - 3)(3 + a) + a(7 - a);$

в) $(b - 4)(b + 4) - (b - 3)(b + 5);$

г) $(b + 8)(b - 6) - (b - 7)(b + 7);$

д) $(c - 1)(c + 1) + (c - 9)(c + 9);$

е) $(5 + c)(c - 5) - (c - 10)(c + 10).$

а)

Чтобы упростить выражение $(a+2)(a-2) - a(a-5)$, применим формулу разности квадратов для первого слагаемого и распределительный закон для второго.
1. Раскроем произведение $(a+2)(a-2)$ по формуле разности квадратов $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$:
$(a+2)(a-2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
2. Раскроем скобки во втором слагаемом, умножив $-a$ на каждый член в скобках:
$-a(a-5) = -a \cdot a - a \cdot (-5) = -a^2 + 5a$.
3. Сложим полученные результаты:
$(a^2 - 4) + (-a^2 + 5a) = a^2 - 4 - a^2 + 5a$.
4. Приведем подобные члены:
$(a^2 - a^2) + 5a - 4 = 0 + 5a - 4 = 5a - 4$.

Ответ: $5a - 4$.

б)

Упростим выражение $(a-3)(3+a) + a(7-a)$.
1. Заметим, что первое произведение $(a-3)(3+a)$ можно записать как $(a-3)(a+3)$, что является формулой разности квадратов:
$(a-3)(a+3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.
2. Раскроем скобки во втором слагаемом:
$a(7-a) = a \cdot 7 - a \cdot a = 7a - a^2$.
3. Сложим полученные выражения:
$(a^2 - 9) + (7a - a^2) = a^2 - 9 + 7a - a^2$.
4. Приведем подобные члены:
$(a^2 - a^2) + 7a - 9 = 0 + 7a - 9 = 7a - 9$.

Ответ: $7a - 9$.

в)

Упростим выражение $(b-4)(b+4) - (b-3)(b+5)$.
1. Первое произведение $(b-4)(b+4)$ — это разность квадратов:
$b^2 - 4^2 = b^2 - 16$.
2. Второе произведение $(b-3)(b+5)$ раскроем по правилу умножения многочленов:
$(b-3)(b+5) = b \cdot b + b \cdot 5 - 3 \cdot b - 3 \cdot 5 = b^2 + 5b - 3b - 15 = b^2 + 2b - 15$.
3. Теперь выполним вычитание:
$(b^2 - 16) - (b^2 + 2b - 15)$.
4. Раскроем скобки, поменяв знаки у членов второго многочлена на противоположные:
$b^2 - 16 - b^2 - 2b + 15$.
5. Приведем подобные члены:
$(b^2 - b^2) - 2b + (15 - 16) = 0 - 2b - 1 = -2b - 1$.

Ответ: $-2b - 1$.

г)

Упростим выражение $(b+8)(b-6) - (b-7)(b+7)$.
1. Раскроем первое произведение $(b+8)(b-6)$:
$b^2 - 6b + 8b - 48 = b^2 + 2b - 48$.
2. Второе произведение $(b-7)(b+7)$ является разностью квадратов:
$b^2 - 7^2 = b^2 - 49$.
3. Выполним вычитание:
$(b^2 + 2b - 48) - (b^2 - 49)$.
4. Раскроем скобки:
$b^2 + 2b - 48 - b^2 + 49$.
5. Приведем подобные члены:
$(b^2 - b^2) + 2b + (49 - 48) = 0 + 2b + 1 = 2b + 1$.

Ответ: $2b + 1$.

д)

Упростим выражение $(c-1)(c+1) + (c-9)(c+9)$.
1. Оба слагаемых являются произведениями, которые можно раскрыть по формуле разности квадратов.
Первое слагаемое: $(c-1)(c+1) = c^2 - 1^2 = c^2 - 1$.
2. Второе слагаемое: $(c-9)(c+9) = c^2 - 9^2 = c^2 - 81$.
3. Сложим полученные результаты:
$(c^2 - 1) + (c^2 - 81) = c^2 - 1 + c^2 - 81$.
4. Приведем подобные члены:
$(c^2 + c^2) + (-1 - 81) = 2c^2 - 82$.

Ответ: $2c^2 - 82$.

е)

Упростим выражение $(5+c)(c-5) - (c-10)(c+10)$.
1. Переставим слагаемые в первой скобке, чтобы увидеть формулу разности квадратов: $(c+5)(c-5) = c^2 - 5^2 = c^2 - 25$.
2. Второе произведение $(c-10)(c+10)$ также является разностью квадратов:
$c^2 - 10^2 = c^2 - 100$.
3. Выполним вычитание:
$(c^2 - 25) - (c^2 - 100)$.
4. Раскроем скобки:
$c^2 - 25 - c^2 + 100$.
5. Приведем подобные члены:
$(c^2 - c^2) + (100 - 25) = 0 + 75 = 75$.

Ответ: $75$.

976. При каком значении $x$ удвоенное произведение двучленов $x + 2$ и $x - 2$ меньше суммы их квадратов на 16?

Для решения данной задачи необходимо перевести ее условие на язык математики.

У нас есть два двучлена: $(x+2)$ и $(x-2)$.

1. Найдем их удвоенное произведение:
$2 \cdot (x+2)(x-2)$
Используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, получаем:
$2(x^2 - 2^2) = 2(x^2 - 4) = 2x^2 - 8$

2. Найдем сумму их квадратов:
$(x+2)^2 + (x-2)^2$
Используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, получаем:
$(x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 4x + 4 + x^2 - 4x + 4 = 2x^2 + 8$

3. Составим уравнение согласно условию задачи. Условие "удвоенное произведение меньше суммы их квадратов на 16" означает, что если к удвоенному произведению прибавить 16, то результат будет равен сумме квадратов.
(Удвоенное произведение) + 16 = (Сумма квадратов)
$(2x^2 - 8) + 16 = 2x^2 + 8$

4. Решим полученное уравнение:
$2x^2 + 8 = 2x^2 + 8$
Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$2x^2 - 2x^2 = 8 - 8$
$0 = 0$

Альтернативный способ составления уравнения — записать, что разность между суммой квадратов и удвоенным произведением равна 16:
$((x+2)^2 + (x-2)^2) - (2(x+2)(x-2)) = 16$
Левая часть является формулой квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, где $a = x+2$ и $b = x-2$.
$((x+2)-(x-2))^2 = 16$
$(x+2-x+2)^2 = 16$
$(4)^2 = 16$
$16 = 16$

Оба способа приводят к верному числовому равенству $16=16$ (или $0=0$), которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное утверждение является тождеством и выполняется при любом значении $x$.

Ответ: данное условие выполняется при любом значении $x$.

979. Разложите на множители:

а) $1 - a^2 b^2$;

б) $4x^2 y^4 - 9$;

в) $0.09x^6 - 0.49y^2$;

г) $1.21a^2 - 0.36b^6$;

д) $1\frac{7}{9}x^2 - \frac{9}{16}y^2$;

е) $0.01a^2 b^4 - 1$.

Для разложения данных выражений на множители используется формула сокращённого умножения — разность квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

а) В выражении $1 - a^2b^2$ мы можем представить каждый член как квадрат: $1 = 1^2$ и $a^2b^2 = (ab)^2$.
Применяя формулу разности квадратов, где $A=1$ и $B=ab$, получаем:
$1^2 - (ab)^2 = (1 - ab)(1 + ab)$.
Ответ: $(1 - ab)(1 + ab)$.

б) В выражении $4x^2y^4 - 9$ представим члены в виде квадратов: $4x^2y^4 = (2xy^2)^2$ и $9 = 3^2$.
Применяя формулу разности квадратов, где $A = 2xy^2$ и $B = 3$, получаем:
$(2xy^2)^2 - 3^2 = (2xy^2 - 3)(2xy^2 + 3)$.
Ответ: $(2xy^2 - 3)(2xy^2 + 3)$.

в) В выражении $0,09x^6 - 0,49y^2$ представим члены в виде квадратов: $0,09x^6 = (0,3x^3)^2$ и $0,49y^2 = (0,7y)^2$.
Применяя формулу разности квадратов, где $A = 0,3x^3$ и $B = 0,7y$, получаем:
$(0,3x^3)^2 - (0,7y)^2 = (0,3x^3 - 0,7y)(0,3x^3 + 0,7y)$.
Ответ: $(0,3x^3 - 0,7y)(0,3x^3 + 0,7y)$.

г) В выражении $1,21a^2 - 0,36b^6$ представим члены в виде квадратов: $1,21a^2 = (1,1a)^2$ и $0,36b^6 = (0,6b^3)^2$.
Применяя формулу разности квадратов, где $A = 1,1a$ и $B = 0,6b^3$, получаем:
$(1,1a)^2 - (0,6b^3)^2 = (1,1a - 0,6b^3)(1,1a + 0,6b^3)$.
Ответ: $(1,1a - 0,6b^3)(1,1a + 0,6b^3)$.

д) В выражении $1\frac{7}{9}x^2 - \frac{9}{16}y^2$ сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$.
Выражение принимает вид $\frac{16}{9}x^2 - \frac{9}{16}y^2$. Представим члены в виде квадратов: $\frac{16}{9}x^2 = (\frac{4}{3}x)^2$ и $\frac{9}{16}y^2 = (\frac{3}{4}y)^2$.
Применяя формулу разности квадратов, где $A = \frac{4}{3}x$ и $B = \frac{3}{4}y$, получаем:
$(\frac{4}{3}x)^2 - (\frac{3}{4}y)^2 = (\frac{4}{3}x - \frac{3}{4}y)(\frac{4}{3}x + \frac{3}{4}y)$.
Ответ: $(\frac{4}{3}x - \frac{3}{4}y)(\frac{4}{3}x + \frac{3}{4}y)$.

е) В выражении $0,01a^2b^4 - 1$ представим члены в виде квадратов: $0,01a^2b^4 = (0,1ab^2)^2$ и $1 = 1^2$.
Применяя формулу разности квадратов, где $A = 0,1ab^2$ и $B = 1$, получаем:
$(0,1ab^2)^2 - 1^2 = (0,1ab^2 - 1)(0,1ab^2 + 1)$.
Ответ: $(0,1ab^2 - 1)(0,1ab^2 + 1)$.