Номер 974, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 974, страница 194.

Условие.

974. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) $(x - 8)(x + 8) - (x - 12)(x + 12);$

б) $(y - \frac{5}{9})(y + \frac{5}{9}) + (\frac{2}{3} - y)(\frac{2}{3} + y).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо упростить его. Если в результате упрощения переменная $x$ сократится, то утверждение будет доказано.

Данное выражение состоит из двух частей, каждая из которых представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Для их упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу к первой части выражения: $(x - 8)(x + 8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64$.

Применим эту же формулу ко второй части выражения: $(x - 12)(x + 12) = x^2 - 12^2 = x^2 - 144$.

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(x^2 - 64) - (x^2 - 144)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в ней изменятся на противоположные:

$x^2 - 64 - x^2 + 144$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (144 - 64) = 0 + 80 = 80$

В результате упрощения мы получили число 80. Это значение является константой и не зависит от значения переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 80

б) Упростим данное выражение, используя ту же формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Выражение: $(y - \frac{5}{9})(y + \frac{5}{9}) + (\frac{2}{3} - y)(\frac{2}{3} + y)$.

Упростим первую часть выражения: $(y - \frac{5}{9})(y + \frac{5}{9}) = y^2 - (\frac{5}{9})^2 = y^2 - \frac{25}{81}$.

Упростим вторую часть выражения: $(\frac{2}{3} - y)(\frac{2}{3} + y) = (\frac{2}{3})^2 - y^2 = \frac{4}{9} - y^2$.

Подставим упрощенные части обратно в выражение:

$(y^2 - \frac{25}{81}) + (\frac{4}{9} - y^2)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$y^2 - \frac{25}{81} + \frac{4}{9} - y^2 = (y^2 - y^2) + (\frac{4}{9} - \frac{25}{81})$

Слагаемые с переменной $y$ взаимно уничтожаются. Остается вычислить значение числового выражения. Приведем дроби к общему знаменателю 81:

$\frac{4}{9} - \frac{25}{81} = \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 9} - \frac{25}{81} = \frac{36}{81} - \frac{25}{81} = \frac{36 - 25}{81} = \frac{11}{81}$

В результате упрощения мы получили число $\frac{11}{81}$. Это значение не зависит от переменной $y$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{11}{81}$