Номер 981, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 981, страница 194.

Условие.

981. Представьте в виде произведения:

a) $x^{10} - 1$;

б) $y^{12} - 16$;

в) $a^2x^8 - 81$;

г) $36 - b^4y^6$;

д) $25p^4q^4 - 1$;

е) $-9 + 121m^8n^8$;

ж) $0,01x^{16} - 0,16$;

з) $1,69y^{14} - 1,21$;

и) $\frac{4}{9}m^6 - \frac{25}{36}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения всех задач используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) Представим выражение $x^{10} - 1$ в виде разности квадратов.

Для этого запишем каждый член выражения как квадрат некоторого одночлена:

$x^{10} = (x^5)^2$

$1 = 1^2$

Теперь выражение имеет вид $(x^5)^2 - 1^2$. Применим формулу разности квадратов, где $a = x^5$ и $b = 1$:

$x^{10} - 1 = (x^5 - 1)(x^5 + 1)$

Ответ: $(x^5 - 1)(x^5 + 1)$.

б) Представим выражение $y^{12} - 16$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$y^{12} = (y^6)^2$

$16 = 4^2$

Применяя формулу, где $a = y^6$ и $b = 4$, получаем:

$y^{12} - 16 = (y^6)^2 - 4^2 = (y^6 - 4)(y^6 + 4)$

Множитель $(y^6 - 4)$ также является разностью квадратов, так как $y^6 = (y^3)^2$ и $4 = 2^2$. Разложим его дальше:

$y^6 - 4 = (y^3)^2 - 2^2 = (y^3 - 2)(y^3 + 2)$

Итоговое разложение:

$(y^3 - 2)(y^3 + 2)(y^6 + 4)$

Ответ: $(y^3 - 2)(y^3 + 2)(y^6 + 4)$.

в) Представим выражение $a^2x^8 - 81$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$a^2x^8 = (ax^4)^2$

$81 = 9^2$

Применяя формулу, где $a = ax^4$ и $b = 9$, получаем:

$a^2x^8 - 81 = (ax^4)^2 - 9^2 = (ax^4 - 9)(ax^4 + 9)$

Ответ: $(ax^4 - 9)(ax^4 + 9)$.

г) Представим выражение $36 - b^4y^6$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$36 = 6^2$

$b^4y^6 = (b^2y^3)^2$

Применяя формулу, где $a = 6$ и $b = b^2y^3$, получаем:

$36 - b^4y^6 = 6^2 - (b^2y^3)^2 = (6 - b^2y^3)(6 + b^2y^3)$

Ответ: $(6 - b^2y^3)(6 + b^2y^3)$.

д) Представим выражение $25p^4q^4 - 1$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$25p^4q^4 = (5p^2q^2)^2$

$1 = 1^2$

Применяя формулу, где $a = 5p^2q^2$ и $b = 1$, получаем:

$25p^4q^4 - 1 = (5p^2q^2)^2 - 1^2 = (5p^2q^2 - 1)(5p^2q^2 + 1)$

Ответ: $(5p^2q^2 - 1)(5p^2q^2 + 1)$.

е) Переставим слагаемые в выражении $-9 + 121m^8n^8$, чтобы получить разность:

$121m^8n^8 - 9$

Теперь представим его в виде разности квадратов. Запишем члены выражения в виде квадратов:

$121m^8n^8 = (11m^4n^4)^2$

$9 = 3^2$

Применяя формулу, где $a = 11m^4n^4$ и $b = 3$, получаем:

$121m^8n^8 - 9 = (11m^4n^4)^2 - 3^2 = (11m^4n^4 - 3)(11m^4n^4 + 3)$

Ответ: $(11m^4n^4 - 3)(11m^4n^4 + 3)$.

ж) Представим выражение $0,01x^{16} - 0,16$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$0,01x^{16} = (0,1x^8)^2$

$0,16 = (0,4)^2$

Применяя формулу, где $a = 0,1x^8$ и $b = 0,4$, получаем:

$0,01x^{16} - 0,16 = (0,1x^8)^2 - (0,4)^2 = (0,1x^8 - 0,4)(0,1x^8 + 0,4)$

Ответ: $(0,1x^8 - 0,4)(0,1x^8 + 0,4)$.

з) Представим выражение $1,69y^{14} - 1,21$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$1,69y^{14} = (1,3y^7)^2$

$1,21 = (1,1)^2$

Применяя формулу, где $a = 1,3y^7$ и $b = 1,1$, получаем:

$1,69y^{14} - 1,21 = (1,3y^7)^2 - (1,1)^2 = (1,3y^7 - 1,1)(1,3y^7 + 1,1)$

Ответ: $(1,3y^7 - 1,1)(1,3y^7 + 1,1)$.

и) Представим выражение $\frac{4}{9}m^6 - \frac{25}{36}$ в виде разности квадратов.

Запишем члены выражения в виде квадратов:

$\frac{4}{9}m^6 = (\frac{2}{3}m^3)^2$

$\frac{25}{36} = (\frac{5}{6})^2$

Применяя формулу, где $a = \frac{2}{3}m^3$ и $b = \frac{5}{6}$, получаем:

$\frac{4}{9}m^6 - \frac{25}{36} = (\frac{2}{3}m^3)^2 - (\frac{5}{6})^2 = (\frac{2}{3}m^3 - \frac{5}{6})(\frac{2}{3}m^3 + \frac{5}{6})$

Ответ: $(\frac{2}{3}m^3 - \frac{5}{6})(\frac{2}{3}m^3 + \frac{5}{6})$.