Номер 972, страница 194 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 13. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 972, страница 194.

Условие.

972. Представьте в виде многочлена:

а) $5y (y^2 - 3)(y^2 + 3);$

б) $-8x (4x - x^3)(4x + x^3);$

в) $(a^4 - 3)(a^4 + 3)(a^8 + 9);$

г) $(1 - b^3)(1 + b^3)(1 + b^6).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для решения этого примера воспользуемся формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Сначала применим эту формулу к выражению в скобках $(y^2 - 3)(y^2 + 3)$:

$(y^2 - 3)(y^2 + 3) = (y^2)^2 - 3^2 = y^4 - 9$.

Теперь умножим полученный результат на одночлен $5y$:

$5y(y^4 - 9) = 5y \cdot y^4 - 5y \cdot 9 = 5y^5 - 45y$.

Ответ: $5y^5 - 45y$.

б) Здесь также используем формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для выражения $(4x - x^3)(4x + x^3)$.

$(4x - x^3)(4x + x^3) = (4x)^2 - (x^3)^2 = 16x^2 - x^6$.

Далее умножим полученный двучлен на $-8x$:

$-8x(16x^2 - x^6) = -8x \cdot 16x^2 - (-8x) \cdot x^6 = -128x^3 + 8x^7$.

Запишем многочлен в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней:

$8x^7 - 128x^3$.

Ответ: $8x^7 - 128x^3$.

в) В этом примере формула разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ применяется дважды.

Сначала перемножим первые две скобки $(a^4 - 3)(a^4 + 3)$:

$(a^4 - 3)(a^4 + 3) = (a^4)^2 - 3^2 = a^8 - 9$.

Теперь исходное выражение выглядит так: $(a^8 - 9)(a^8 + 9)$.

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(a^8 - 9)(a^8 + 9) = (a^8)^2 - 9^2 = a^{16} - 81$.

Ответ: $a^{16} - 81$.

г) Этот пример решается аналогично предыдущему, с двукратным применением формулы разности квадратов.

Умножим первые две скобки $(1 - b^3)(1 + b^3)$:

$(1 - b^3)(1 + b^3) = 1^2 - (b^3)^2 = 1 - b^6$.

Теперь выражение принимает вид: $(1 - b^6)(1 + b^6)$.

Применим формулу разности квадратов еще раз:

$(1 - b^6)(1 + b^6) = 1^2 - (b^6)^2 = 1 - b^{12}$.

Ответ: $1 - b^{12}$.