Номер 965, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Возведение двучлена в степень. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 965, страница 193.

Условие.

965. Докажите, что значение выражения:

а) $83^4 + 65$ кратно 81;

б) $141^{10} + 88$ кратно 139.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Докажем, что значение выражения $83^4 + 65$ кратно 81.

Для доказательства делимости воспользуемся сравнениями по модулю. Нам нужно показать, что $83^4 + 65$ делится на 81 без остатка, то есть $83^4 + 65 \equiv 0 \pmod{81}$.

Представим число 83 через 81: $83 = 81 + 2$.

Следовательно, 83 дает остаток 2 при делении на 81. В виде сравнения по модулю это записывается так:

$83 \equiv 2 \pmod{81}$

Возведем обе части сравнения в 4-ю степень:

$83^4 \equiv 2^4 \pmod{81}$

$83^4 \equiv 16 \pmod{81}$

Теперь прибавим 65 к обеим частям сравнения:

$83^4 + 65 \equiv 16 + 65 \pmod{81}$

$83^4 + 65 \equiv 81 \pmod{81}$

Поскольку 81 делится на 81 без остатка, то $81 \equiv 0 \pmod{81}$.

Таким образом, мы получаем:

$83^4 + 65 \equiv 0 \pmod{81}$

Это означает, что значение выражения $83^4 + 65$ кратно 81, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Докажем, что значение выражения $141^{10} + 88$ кратно 139.

Воспользуемся методом сравнения по модулю. Нам нужно доказать, что $141^{10} + 88 \equiv 0 \pmod{139}$.

Представим число 141 через 139: $141 = 139 + 2$.

Это означает, что 141 дает остаток 2 при делении на 139:

$141 \equiv 2 \pmod{139}$

Возведем обе части сравнения в 10-ю степень:

$141^{10} \equiv 2^{10} \pmod{139}$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$141^{10} + 88 \equiv 2^{10} + 88 \pmod{139}$

Вычислим значение выражения $2^{10} + 88$:

$2^{10} = 1024$

$1024 + 88 = 1112$

Теперь проверим, делится ли 1112 на 139:

$1112 \div 139 = 8$

Поскольку 1112 делится на 139 без остатка, то $1112 \equiv 0 \pmod{139}$.

Следовательно:

$141^{10} + 88 \equiv 0 \pmod{139}$

Это доказывает, что значение выражения $141^{10} + 88$ кратно 139.

Ответ: Доказано.