Номер 958, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Возведение двучлена в степень. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 958, страница 192.

Условие.

958. Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена $a + b$. Проверьте результат, умножив на $a + b$ многочлен, равный $(a + b)^5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Используя треугольник Паскаля, напишите формулу для шестой степени двучлена a + b.

Для нахождения коэффициентов в разложении двучлена $(a+b)^n$ в степень $n$ используется треугольник Паскаля. Каждая строка треугольника, начиная с нулевой, содержит коэффициенты для соответствующей степени. Для нахождения формулы $(a+b)^6$ нам нужна строка с номером $n=6$.

Построим треугольник Паскаля до строки $n=6$:

$n=0$: 1

$n=1$: 1, 1

$n=2$: 1, 2, 1

$n=3$: 1, 3, 3, 1

$n=4$: 1, 4, 6, 4, 1

$n=5$: 1, 5, 10, 10, 5, 1

$n=6$: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

Числа в строке для $n=6$ (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1) являются биномиальными коэффициентами для разложения $(a+b)^6$. В разложении степени переменной $a$ убывают от 6 до 0, а степени переменной $b$ возрастают от 0 до 6.

Подставляя коэффициенты, получаем:

$(a+b)^6 = 1 \cdot a^6b^0 + 6 \cdot a^5b^1 + 15 \cdot a^4b^2 + 20 \cdot a^3b^3 + 15 \cdot a^2b^4 + 6 \cdot a^1b^5 + 1 \cdot a^0b^6$

Упрощая выражение, получаем искомую формулу.

Ответ: $(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

Проверьте результат, умножив на a + b многочлен, равный (a + b)⁵.

Для проверки необходимо выполнить умножение $(a+b) \cdot (a+b)^5$. Сначала, используя строку $n=5$ треугольника Паскаля (1, 5, 10, 10, 5, 1), запишем разложение для $(a+b)^5$:

$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$

Теперь умножим этот многочлен на $(a+b)$:

$(a+b)(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5)$

Применим распределительный закон умножения:

$a(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5) + b(a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5)$

Раскроем скобки, умножив каждый член на $a$ и на $b$:

$(a^6 + 5a^5b + 10a^4b^2 + 10a^3b^3 + 5a^2b^4 + ab^5) + (a^5b + 5a^4b^2 + 10a^3b^3 + 10a^2b^4 + 5ab^5 + b^6)$

Сложим полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$a^6 + (5a^5b + a^5b) + (10a^4b^2 + 5a^4b^2) + (10a^3b^3 + 10a^3b^3) + (5a^2b^4 + 10a^2b^4) + (ab^5 + 5ab^5) + b^6$

Выполнив сложение коэффициентов, получаем итоговый многочлен:

$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

Этот результат в точности совпадает с формулой для $(a+b)^6$, полученной с помощью треугольника Паскаля.

Ответ: Проверка подтвердила правильность формулы. Результат умножения $(a+b)(a+b)^5$ равен $a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$.