Номер 960, страница 192 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Возведение двучлена в степень. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 960, страница 192.

Условие.

960. Используя формулу четвёртой степени двучлена, преобразуйте выражение:

а) $(a^2 + 2b)^4$;

б) $(a^3 - b)^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу бинома Ньютона для четвёртой степени. Коэффициенты для четвёртой степени можно найти из треугольника Паскаля, они равны 1, 4, 6, 4, 1.

Формула для суммы двух чисел в четвёртой степени:

$(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4$

Формула для разности двух чисел в четвёртой степени (знаки чередуются):

$(x - y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$

а) Преобразуем выражение $(a^2 + 2b)^4$.

В этом выражении $x = a^2$ и $y = 2b$. Применим формулу для суммы в четвёртой степени:

$(a^2 + 2b)^4 = (a^2)^4 + 4(a^2)^3(2b) + 6(a^2)^2(2b)^2 + 4(a^2)(2b)^3 + (2b)^4$

Теперь вычислим и упростим каждый член многочлена:

• Первый член: $(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$
• Второй член: $4(a^2)^3(2b) = 4(a^6)(2b) = 8a^6b$
• Третий член: $6(a^2)^2(2b)^2 = 6(a^4)(4b^2) = 24a^4b^2$
• Четвёртый член: $4(a^2)(2b)^3 = 4(a^2)(8b^3) = 32a^2b^3$
• Пятый член: $(2b)^4 = 16b^4$

Складывая все полученные члены, получаем итоговое выражение:

$(a^2 + 2b)^4 = a^8 + 8a^6b + 24a^4b^2 + 32a^2b^3 + 16b^4$

Ответ: $a^8 + 8a^6b + 24a^4b^2 + 32a^2b^3 + 16b^4$.

б) Преобразуем выражение $(a^3 - b)^4$.

В этом выражении $x = a^3$ и $y = b$. Применим формулу для разности в четвёртой степени:

$(a^3 - b)^4 = (a^3)^4 - 4(a^3)^3(b) + 6(a^3)^2(b)^2 - 4(a^3)(b)^3 + (b)^4$

Теперь вычислим и упростим каждый член многочлена:

• Первый член: $(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$
• Второй член: $-4(a^3)^3(b) = -4(a^9)(b) = -4a^9b$
• Третий член: $6(a^3)^2(b)^2 = 6(a^6)(b^2) = 6a^6b^2$
• Четвёртый член: $-4(a^3)(b)^3 = -4a^3b^3$
• Пятый член: $b^4$

Объединяя все полученные члены, получаем итоговое выражение:

$(a^3 - b)^4 = a^{12} - 4a^9b + 6a^6b^2 - 4a^3b^3 + b^4$

Ответ: $a^{12} - 4a^9b + 6a^6b^2 - 4a^3b^3 + b^4$.