Номер 961, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

39. Возведение двучлена в степень. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 961, страница 193.

Условие.

961. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(a^2 + 3b^3)^3$;

б) $(1 - 2xy)^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы представить выражение $(a^2 + 3b^3)^3$ в виде многочлена, воспользуемся формулой куба суммы двух выражений: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

В данном случае $x = a^2$ и $y = 3b^3$.

Подставим эти значения в формулу:

$(a^2 + 3b^3)^3 = (a^2)^3 + 3 \cdot (a^2)^2 \cdot (3b^3) + 3 \cdot (a^2) \cdot (3b^3)^2 + (3b^3)^3$

Теперь упростим каждый член выражения:

• Первый член: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$
• Второй член: $3 \cdot (a^2)^2 \cdot (3b^3) = 3 \cdot a^4 \cdot 3b^3 = 9a^4b^3$
• Третий член: $3 \cdot (a^2) \cdot (3b^3)^2 = 3 \cdot a^2 \cdot (3^2 \cdot (b^3)^2) = 3 \cdot a^2 \cdot 9b^6 = 27a^2b^6$
• Четвертый член: $(3b^3)^3 = 3^3 \cdot (b^3)^3 = 27b^9$

Сложив все полученные члены, мы получим итоговый многочлен:

$a^6 + 9a^4b^3 + 27a^2b^6 + 27b^9$

Ответ: $a^6 + 9a^4b^3 + 27a^2b^6 + 27b^9$

б) Для того чтобы представить выражение $(1 - 2xy)^4$ в виде многочлена, воспользуемся формулой бинома Ньютона. Для степени $n=4$ коэффициенты можно взять из треугольника Паскаля: 1, 4, 6, 4, 1. Формула для разности в четвертой степени выглядит так: $(x-y)^4 = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$.

В данном случае $x = 1$ и $y = 2xy$.

Подставим эти значения в формулу:

$(1 - 2xy)^4 = 1^4 - 4 \cdot 1^3 \cdot (2xy) + 6 \cdot 1^2 \cdot (2xy)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2xy)^3 + (2xy)^4$

Теперь упростим каждый член выражения:

• Первый член: $1^4 = 1$
• Второй член: $-4 \cdot 1^3 \cdot (2xy) = -4 \cdot 2xy = -8xy$
• Третий член: $6 \cdot 1^2 \cdot (2xy)^2 = 6 \cdot 4x^2y^2 = 24x^2y^2$
• Четвертый член: $-4 \cdot 1 \cdot (2xy)^3 = -4 \cdot 8x^3y^3 = -32x^3y^3$
• Пятый член: $(2xy)^4 = 2^4x^4y^4 = 16x^4y^4$

Соберем все полученные члены в один многочлен:

$1 - 8xy + 24x^2y^2 - 32x^3y^3 + 16x^4y^4$

Ответ: $1 - 8xy + 24x^2y^2 - 32x^3y^3 + 16x^4y^4$