Номер 970, страница 193 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 970, страница 193.

Условие.

970. Представьте в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена:

а) $a^4 - 8a^2 + 16$;

б) $-4 - 4b - b^2$;

в) $10x - x^2 - 25$;

г) $c^4d^2 + 1 - 2c^2d$;

д) $a^6b^2 + 12a^3b + 36$;

е) $x + 1 + \frac{1}{4}x^2$;

ж) $y - y^2 - 0.25$;

з) $9 - m + \frac{1}{36}m^2$;

и) $-25 - 2n - 0.04n^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$
• Квадрат разности: $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$

В некоторых случаях потребуется сначала вынести знак минус за скобки, чтобы получить выражение, противоположное квадрату двучлена: $- (A \pm B)^2$.

а)

Чтобы представить выражение $a^4 - 8a^2 + 16$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности.
Представим первый и последний члены в виде квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $16 = 4^2$.
Теперь выражение имеет вид $(a^2)^2 - 8a^2 + 4^2$.
Проверим, является ли средний член удвоенным произведением оснований: $2 \cdot a^2 \cdot 4 = 8a^2$.
Так как $a^4 - 8a^2 + 16 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2$, мы можем свернуть его по формуле.
Ответ: $(a^2 - 4)^2$.

б)

Рассмотрим выражение $-4 - 4b - b^2$. Сначала вынесем знак минус за скобки.
$-4 - 4b - b^2 = -(4 + 4b + b^2)$.
Перепишем выражение в скобках в стандартном порядке: $b^2 + 4b + 4$.
Воспользуемся формулой квадрата суммы. Представим $b^2$ как $(b)^2$ и $4$ как $2^2$.
Проверим средний член: $2 \cdot b \cdot 2 = 4b$.
Выражение в скобках является полным квадратом: $b^2 + 4b + 4 = (b+2)^2$.
Следовательно, исходное выражение равно $-(b+2)^2$.
Ответ: $-(b+2)^2$.

в)

Рассмотрим выражение $10x - x^2 - 25$. Переставим члены и вынесем минус за скобки.
$10x - x^2 - 25 = -x^2 + 10x - 25 = -(x^2 - 10x + 25)$.
Применим к выражению в скобках формулу квадрата разности.
Представим $x^2$ как $(x)^2$ и $25$ как $5^2$.
Проверим средний член: $2 \cdot x \cdot 5 = 10x$.
Выражение в скобках равно $(x-5)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(x-5)^2$.
Ответ: $-(x-5)^2$.

г)

Рассмотрим выражение $c^4d^2 + 1 - 2c^2d$. Переставим члены для удобства: $c^4d^2 - 2c^2d + 1$.
Применим формулу квадрата разности.
Представим $c^4d^2$ как $(c^2d)^2$ и $1$ как $1^2$.
Проверим средний член: $2 \cdot c^2d \cdot 1 = 2c^2d$.
Следовательно, $c^4d^2 - 2c^2d + 1 = (c^2d - 1)^2$.
Ответ: $(c^2d - 1)^2$.

д)

Рассмотрим выражение $a^6b^2 + 12a^3b + 36$.
Применим формулу квадрата суммы.
Представим $a^6b^2$ как $(a^3b)^2$ и $36$ как $6^2$.
Проверим средний член: $2 \cdot a^3b \cdot 6 = 12a^3b$.
Следовательно, $a^6b^2 + 12a^3b + 36 = (a^3b + 6)^2$.
Ответ: $(a^3b + 6)^2$.

е)

Рассмотрим выражение $x + 1 + \frac{1}{4}x^2$. Переставим члены для удобства: $\frac{1}{4}x^2 + x + 1$.
Применим формулу квадрата суммы.
Представим $\frac{1}{4}x^2$ как $(\frac{1}{2}x)^2$ и $1$ как $1^2$.
Проверим средний член: $2 \cdot \frac{1}{2}x \cdot 1 = x$.
Следовательно, $\frac{1}{4}x^2 + x + 1 = (\frac{1}{2}x + 1)^2$.
Ответ: $(\frac{