Страница 190 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

3 Какие способы разложения многочленов на множители вам известны?

Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения двух или более многочленов или одночленов. Существует несколько основных способов для выполнения этой операции.

1. Вынесение общего множителя за скобки

Этот способ основан на распределительном свойстве умножения $a(b+c) = ab+ac$. Если каждый член многочлена содержит один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку. Это первый метод, который следует попытаться применить.

Пример: Разложить на множители $12x^2y - 18xy^3$.

Решение: Находим наибольший общий делитель для числовых коэффициентов 12 и 18, который равен 6. Затем находим общие переменные в наименьшей степени: это $x$ и $y$. Таким образом, общий множитель всего выражения — $6xy$. Выносим его за скобки, разделив каждый член многочлена на этот общий множитель: $12x^2y \div (6xy) = 2x$ и $-18xy^3 \div (6xy) = -3y^2$.

Получаем: $6xy(2x - 3y^2)$.

Ответ: $6xy(2x - 3y^2)$.

2. Способ группировки

Метод группировки используется для многочленов, у которых нет общего множителя для всех членов. Члены многочлена объединяются в группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести свой общий множитель, после чего появляется новый общий множитель для всех групп.

Пример: Разложить на множители $ax - 2a + bx - 2b$.

Решение: Сгруппируем первые два члена и последние два: $(ax - 2a) + (bx - 2b)$. В первой группе вынесем за скобки $a$, а во второй — $b$. Получим: $a(x-2) + b(x-2)$. Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(x-2)$, который мы также выносим за скобки: $(x-2)(a+b)$.

Ответ: $(x-2)(a+b)$.

3. Использование формул сокращенного умножения

Многие многочлены можно разложить, узнав в них одну из формул сокращенного умножения. Основные формулы:
Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Пример: Разложить на множители $9x^2 - 64y^2$.

Решение: Этот многочлен является разностью квадратов, так как $9x^2 = (3x)^2$ и $64y^2 = (8y)^2$. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 3x$ и $b = 8y$.

Получаем: $(3x - 8y)(3x + 8y)$.

Ответ: $(3x - 8y)(3x + 8y)$.

4. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители с помощью его корней $x_1$ и $x_2$ по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$. Корни находятся решением квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант или по теореме Виета.

Пример: Разложить на множители $x^2 - 7x + 10$.

Решение: Решим уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 10. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$. Коэффициент $a = 1$. Подставляем корни в формулу разложения: $1 \cdot (x - 2)(x - 5)$.

Ответ: $(x - 2)(x - 5)$.

5. Комбинирование различных способов

Часто для полного разложения многочлена на множители требуется применить несколько способов последовательно. Как правило, начинают с вынесения общего множителя, а затем анализируют полученное выражение.

Пример: Разложить на множители $2y^3 - 18y$.

Решение: Шаг 1: Вынесем общий множитель $2y$ за скобки. Получаем $2y(y^2 - 9)$.
Шаг 2: Выражение в скобках, $y^2 - 9$, является разностью квадратов $(y^2 - 3^2)$. Применим соответствующую формулу: $(y-3)(y+3)$.
Объединяем результаты:

$2y(y - 3)(y + 3)$.

Ответ: $2y(y - 3)(y + 3)$.

1 Приведите пример целого выражения и выражения, не являющегося целым.

В алгебре выражения, составленные из чисел, переменных и знаков арифметических операций, делятся на целые и не являющиеся целыми (например, дробные).

Пример целого выражения

Целое выражение — это алгебраическое выражение, которое не содержит операции деления на переменную или на выражение с переменной. Оно может состоять из чисел и переменных, соединенных знаками сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень. Деление на число, не равное нулю, также допускается.

Примером целого выражения является любой многочлен. Например, рассмотрим выражение:

$2x^2 - 3xy + \frac{y}{5}$

Это выражение содержит умножение ($2x^2$, $3xy$), вычитание и деление на число ($y/5$). Поскольку в нем нет деления на переменную, оно является целым.

Ответ: $2x^2 - 3xy + \frac{y}{5}$.

Пример выражения, не являющегося целым

Выражение, которое не является целым, — это выражение, содержащее операцию деления на переменную или на выражение с переменной. Такие выражения также называют дробно-рациональными.

Например, рассмотрим выражение:

$\frac{a+b}{a-b} + c$

Здесь присутствует деление на выражение $a-b$, которое содержит переменные. Это ключевой признак, который делает данное выражение нецелым. Значение такого выражения определено не для всех значений переменных (в данном случае, оно не определено при $a=b$, так как это привело бы к делению на ноль).

Ответ: $\frac{a+b}{a-b} + c$.

2. Какие действия надо выполнить и в каком порядке, чтобы представить целое выражение $4x(2-x)^2 + (x^2-4)(x+4)$ в виде многочлена?

Чтобы представить данное целое выражение в виде многочлена, необходимо выполнить следующие действия в указанном порядке, руководствуясь правилами порядка выполнения арифметических операций (сначала действия в скобках, возведение в степень, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание).

1. Упрощение первого слагаемого $4x(2-x)^2$

   Сначала необходимо выполнить возведение в степень. Раскроем скобку $(2-x)^2$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

   $(2-x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$

   Теперь умножим полученный многочлен на одночлен $4x$:

   $4x(4 - 4x + x^2) = 4x \cdot 4 + 4x \cdot (-4x) + 4x \cdot x^2 = 16x - 16x^2 + 4x^3$

2. Упрощение второго слагаемого $(x^2-4)(x+4)$

   Здесь необходимо выполнить умножение двух многочленов. Для этого каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго многочлена:

   $(x^2-4)(x+4) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 4 - 4 \cdot x - 4 \cdot 4 = x^3 + 4x^2 - 4x - 16$

3. Сложение полученных выражений и приведение подобных слагаемых

   На последнем этапе сложим результаты, полученные в первых двух действиях, и объединим члены с одинаковыми степенями переменной $x$ (приведем подобные слагаемые).

   $(16x - 16x^2 + 4x^3) + (x^3 + 4x^2 - 4x - 16)$

   Сгруппируем слагаемые:

   $(4x^3 + x^3) + (-16x^2 + 4x^2) + (16x - 4x) - 16$

   Выполним сложение и вычитание:

   $5x^3 - 12x^2 + 12x - 16$

Таким образом, для представления исходного выражения в виде многочлена необходимо: 1) в первом слагаемом раскрыть квадрат разности и умножить результат на $4x$; 2) во втором слагаемом перемножить многочлены; 3) сложить полученные выражения и привести подобные слагаемые.

Ответ: $5x^3 - 12x^2 + 12x - 16$