Номер 1002, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1002, страница 196.

Условие.

1002. Докажите тождество

$(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) - (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = 2b^6$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства данного тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части. Левая часть представляет собой разность двух выражений.

1. Упростим первое выражение: $(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$.

Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

В данном случае $x = a^2$ и $y = b^2$. Применив формулу, получаем:

$(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) = (a^2)^3 + (b^2)^3 = a^6 + b^6$.

2. Упростим второе выражение: $(a^3 - b^3)(a^3 + b^3)$.

Это выражение соответствует формуле разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном случае $x = a^3$ и $y = b^3$. Применив формулу, получаем:

$(a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a^3)^2 - (b^3)^2 = a^6 - b^6$.

3. Теперь подставим упрощенные выражения обратно в левую часть исходного тождества:

$(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4) - (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a^6 + b^6) - (a^6 - b^6)$.

Раскроем скобки. Важно учесть знак минуса перед второй скобкой:

$a^6 + b^6 - a^6 + b^6$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^6 - a^6) + (b^6 + b^6) = 0 + 2b^6 = 2b^6$.

В результате преобразования левой части мы получили $2b^6$, что в точности равно правой части исходного выражения.

Таким образом, $2b^6 = 2b^6$, и тождество доказано.

Ответ: тождество доказано, так как после упрощения левой части с помощью формул суммы кубов и разности квадратов получается $2b^6$, что равно правой части.