Номер 1003, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1003, страница 196.

Условие.

1003. Найдите значение выражения:

а) $(y + 5)(y^2 - 5y + 25) - y(y^2 + 3)$ при $y = -2;$

б) $x(x + 3)^2 - (x - 1)(x^2 + x + 1)$ при $x = -4;$

в) $(2p - 1)(4p^2 + 2p + 1) - p(p - 1)(p + 1)$ при $p = 1,5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Сначала упростим выражение $(y + 5)(y^2 - 5y + 25) - y(y^2 + 3)$.

Первая часть выражения, $(y + 5)(y^2 - 5y + 25)$, представляет собой формулу суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$. В нашем случае $a = y$ и $b = 5$.

Таким образом, $(y + 5)(y^2 - 5y + 25) = y^3 + 5^3 = y^3 + 125$.

Раскроем скобки во второй части выражения: $-y(y^2 + 3) = -y^3 - 3y$.

Теперь объединим упрощенные части:

$(y^3 + 125) + (-y^3 - 3y) = y^3 + 125 - y^3 - 3y$.

Приведем подобные слагаемые: $y^3 - y^3 + 125 - 3y = 125 - 3y$.

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $y = -2$:

$125 - 3y = 125 - 3(-2) = 125 + 6 = 131$.

Ответ: 131

б) Сначала упростим выражение $x(x + 3)^2 - (x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Раскроем квадрат суммы в первой части: $x(x + 3)^2 = x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$.

Вторая часть выражения, $(x - 1)(x^2 + x + 1)$, является формулой разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. В нашем случае $a = x$ и $b = 1$.

Таким образом, $(x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1^3 = x^3 - 1$.

Теперь объединим части в одно выражение:

$(x^3 + 6x^2 + 9x) - (x^3 - 1) = x^3 + 6x^2 + 9x - x^3 + 1$.

Приведем подобные слагаемые: $x^3 - x^3 + 6x^2 + 9x + 1 = 6x^2 + 9x + 1$.

Подставим в упрощенное выражение значение $x = -4$:

$6(-4)^2 + 9(-4) + 1 = 6 \cdot 16 - 36 + 1 = 96 - 36 + 1 = 60 + 1 = 61$.

Ответ: 61

в) Сначала упростим выражение $(2p - 1)(4p^2 + 2p + 1) - p(p - 1)(p + 1)$.

Первая часть, $(2p - 1)(4p^2 + 2p + 1)$, является формулой разности кубов $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$. Здесь $a = 2p$ и $b = 1$.

$(2p - 1)((2p)^2 + 2p \cdot 1 + 1^2) = (2p)^3 - 1^3 = 8p^3 - 1$.

Вторая часть выражения содержит произведение $(p - 1)(p + 1)$, что является формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Значит, $(p - 1)(p + 1) = p^2 - 1^2 = p^2 - 1$.

Тогда вторая часть целиком: $-p(p^2 - 1) = -p^3 + p$.

Объединим упрощенные части:

$(8p^3 - 1) + (-p^3 + p) = 8p^3 - 1 - p^3 + p$.

Приведем подобные слагаемые: $8p^3 - p^3 + p - 1 = 7p^3 + p - 1$.

Подставим в упрощенное выражение значение $p = 1,5$:

$7(1,5)^3 + 1,5 - 1 = 7 \cdot 3,375 + 0,5 = 23,625 + 0,5 = 24,125$.

Ответ: 24,125