Номер 1010, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1010, страница 197.

Условие.

1010. Представьте в виде произведения:

а) $2x^8 - 12x^4 + 18;$

б) $-2a^6 - 8a^3b - 8b^2;$

в) $a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5;$

г) $4x + 4xy^6 + xy^{12}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы представить выражение $2x^8 - 12x^4 + 18$ в виде произведения, сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для коэффициентов 2, -12 и 18 является 2. Получим: $2x^8 - 12x^4 + 18 = 2(x^8 - 6x^4 + 9)$. Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^8 - 6x^4 + 9$. Его можно представить в виде квадрата разности, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Пусть $a = x^4$ и $b = 3$. Тогда $a^2 = (x^4)^2 = x^8$, $b^2 = 3^2 = 9$, а $2ab = 2 \cdot x^4 \cdot 3 = 6x^4$. Таким образом, выражение в скобках соответствует формуле полного квадрата: $x^8 - 6x^4 + 9 = (x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 3 + 3^2 = (x^4 - 3)^2$. Подставим это обратно в исходное выражение: $2(x^8 - 6x^4 + 9) = 2(x^4 - 3)^2$.
Ответ: $2(x^4 - 3)^2$.

б) Рассмотрим выражение $-2a^6 - 8a^3b - 8b^2$. Вынесем общий множитель -2 за скобки: $-2a^6 - 8a^3b - 8b^2 = -2(a^6 + 4a^3b + 4b^2)$. Выражение в скобках $a^6 + 4a^3b + 4b^2$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Пусть первый член это $a^3$ и второй член это $2b$. Тогда $(a^3)^2 = a^6$, $(2b)^2 = 4b^2$, а удвоенное произведение равно $2 \cdot a^3 \cdot 2b = 4a^3b$. Следовательно, выражение в скобках можно записать как: $a^6 + 4a^3b + 4b^2 = (a^3)^2 + 2 \cdot a^3 \cdot 2b + (2b)^2 = (a^3 + 2b)^2$. Возвращая общий множитель, получаем окончательный результат: $-2(a^3 + 2b)^2$.
Ответ: $-2(a^3 + 2b)^2$.

в) В выражении $a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5$ вынесем общий множитель $b$ за скобки: $a^4b + 6a^2b^3 + 9b^5 = b(a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4)$. Выражение в скобках $a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4$ представляет собой полный квадрат суммы. Применим формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Пусть первый член это $a^2$ и второй член это $3b^2$. Тогда $(a^2)^2 = a^4$, $(3b^2)^2 = 9b^4$, а удвоенное произведение равно $2 \cdot a^2 \cdot 3b^2 = 6a^2b^2$. Таким образом, выражение в скобках равно: $a^4 + 6a^2b^2 + 9b^4 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 3b^2 + (3b^2)^2 = (a^2 + 3b^2)^2$. Итоговый вид произведения: $b(a^2 + 3b^2)^2$.
Ответ: $b(a^2 + 3b^2)^2$.

г) В выражении $4x + 4xy^6 + xy^{12}$ вынесем общий множитель $x$ за скобки: $4x + 4xy^6 + xy^{12} = x(4 + 4y^6 + y^{12})$. Перепишем выражение в скобках в более удобном виде: $y^{12} + 4y^6 + 4$. Это выражение является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Пусть $a = y^6$ и $b = 2$. Тогда $a^2 = (y^6)^2 = y^{12}$, $b^2 = 2^2 = 4$, а удвоенное произведение равно $2 \cdot y^6 \cdot 2 = 4y^6$. Следовательно, выражение в скобках можно записать как: $y^{12} + 4y^6 + 4 = (y^6)^2 + 2 \cdot y^6 \cdot 2 + 2^2 = (y^6 + 2)^2$. Окончательное произведение: $x(y^6 + 2)^2$.
Ответ: $x(y^6 + 2)^2$.