Номер 1013, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1013, страница 197.

Условие.

1013. Решите уравнение:

а) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0;$

б) $2m^3 - m^2 - 18m + 9 = 0;$

в) $y^3 - 6y^2 = 6 - y;$

г) $2a^3 + 3a^2 = 2a + 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$

Для решения уравнения применим метод группировки. Сгруппируем попарно слагаемые:

$(x^3 + 3x^2) + (-4x - 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 3) - 4(x + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 3)$ за скобки:

$(x + 3)(x^2 - 4) = 0$

Множитель $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x + 3 = 0 \implies x_1 = -3$
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Ответ: $-3; -2; 2$.

б) $2m^3 - m^2 - 18m + 9 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2m^3 - m^2) + (-18m + 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$m^2(2m - 1) - 9(2m - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(2m - 1)$ за скобки:

$(2m - 1)(m^2 - 9) = 0$

Разложим множитель $(m^2 - 9)$ как разность квадратов:

$(2m - 1)(m - 3)(m + 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:
$2m - 1 = 0 \implies 2m = 1 \implies m_1 = \frac{1}{2}$
$m - 3 = 0 \implies m_2 = 3$
$m + 3 = 0 \implies m_3 = -3$

Ответ: $-3; \frac{1}{2}; 3$.

в) $y^3 - 6y^2 = 6 - y$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$y^3 - 6y^2 + y - 6 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(y^3 - 6y^2) + (y - 6) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^2(y - 6) + 1(y - 6) = 0$

Вынесем общий множитель $(y - 6)$ за скобки:

$(y - 6)(y^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$y - 6 = 0 \implies y = 6$
$y^2 + 1 = 0 \implies y^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $6$.

г) $2a^3 + 3a^2 = 2a + 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2a^3 + 3a^2 - 2a - 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(2a^3 + 3a^2) - (2a + 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^2(2a + 3) - 1(2a + 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(2a + 3)$ за скобки:

$(2a + 3)(a^2 - 1) = 0$

Разложим множитель $(a^2 - 1)$ как разность квадратов:

$(2a + 3)(a - 1)(a + 1) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:
$2a + 3 = 0 \implies 2a = -3 \implies a_1 = -\frac{3}{2}$
$a - 1 = 0 \implies a_2 = 1$
$a + 1 = 0 \implies a_3 = -1$

Ответ: $-\frac{3}{2}; -1; 1$.