Номер 1011, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1011, страница 197.

Условие.

1011. Разложите на множители:

а) $70a - 84b + 20ab - 24b^2$;

б) $21bc^2 - 6c - 3c^3 + 42b$;

в) $12y - 9x^2 + 36 - 3x^2y$;

г) $30a^3 - 18a^2b - 72b + 120a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения на множители выражения $70a - 84b + 20ab - 24b^2$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые: $(70a - 84b) + (20ab - 24b^2)$. Из первой группы вынесем за скобки общий множитель 14, а из второй — $4b$. Получим выражение: $14(5a - 6b) + 4b(5a - 6b)$. Теперь вынесем общий множитель $(5a - 6b)$ за скобки: $(14 + 4b)(5a - 6b)$. Из первого множителя $(14 + 4b)$ можно вынести общий множитель 2: $2(7 + 2b)$. Таким образом, окончательный вид разложения: $2(7 + 2b)(5a - 6b)$.
Ответ: $2(7 + 2b)(5a - 6b)$

б) Рассмотрим выражение $21bc^2 - 6c - 3c^3 + 42b$. Для удобства переставим слагаемые и сгруппируем их: $(21bc^2 + 42b) + (-3c^3 - 6c)$. Вынесем из первой группы общий множитель $21b$, а из второй — $-3c$. Это дает нам: $21b(c^2 + 2) - 3c(c^2 + 2)$. Теперь мы можем вынести общий для обеих групп множитель $(c^2 + 2)$: $(21b - 3c)(c^2 + 2)$. В первом множителе $(21b - 3c)$ есть общий множитель 3, который также можно вынести за скобки: $3(7b - c)$. В итоге получаем: $3(7b - c)(c^2 + 2)$.
Ответ: $3(7b - c)(c^2 + 2)$

в) Разложим на множители $12y - 9x^2 + 36 - 3x^2y$. Перегруппируем слагаемые: $(12y + 36) + (-3x^2y - 9x^2)$. Из первой группы выносим 12, из второй — $-3x^2$. Получаем: $12(y + 3) - 3x^2(y + 3)$. Выносим общий множитель $(y + 3)$: $(12 - 3x^2)(y + 3)$. Из первого множителя $(12 - 3x^2)$ выносим 3: $3(4 - x^2)$. Выражение $4 - x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(2 - x)(2 + x)$. Собирая все вместе, получаем окончательный результат: $3(y + 3)(2 - x)(2 + x)$.
Ответ: $3(y + 3)(2 - x)(2 + x)$

г) В выражении $30a^3 - 18a^2b - 72b + 120a$ сначала найдем и вынесем за скобки общий множитель для всех членов. Наибольший общий делитель для коэффициентов 30, -18, -72 и 120 равен 6. Выносим 6 за скобки: $6(5a^3 - 3a^2b - 12b + 20a)$. Теперь разложим на множители выражение в скобках методом группировки. Переставим слагаемые: $6((5a^3 - 3a^2b) + (20a - 12b))$. Из первой внутренней группы вынесем $a^2$, из второй — 4: $6(a^2(5a - 3b) + 4(5a - 3b))$. Вынесем общий множитель $(5a - 3b)$: $6(a^2 + 4)(5a - 3b)$.
Ответ: $6(a^2 + 4)(5a - 3b)$