Номер 1016, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1016, страница 197.

Условие.

1016. Представьте в виде произведения:

а) $x^2(x + 2y) - x - 2y;$

б) $x^2(2y - 5) - 8y + 20;$

в) $a^3 - 5a^2 - 4a + 20;$

г) $x^3 - 4x^2 - 9x + 36.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^2(x + 2y) - x - 2y$

Для того чтобы представить выражение в виде произведения, сгруппируем последние два члена, вынеся за скобки $-1$.

$x^2(x + 2y) - (x + 2y)$

Теперь мы видим общий множитель $(x + 2y)$, который можно вынести за скобки:

$(x + 2y)(x^2 - 1)$

Выражение во вторых скобках, $(x^2 - 1)$, является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Подставив разложенный множитель обратно, получаем окончательный вид произведения:

$(x + 2y)(x - 1)(x + 1)$

Ответ: $(x + 2y)(x - 1)(x + 1)$.

б) $x^2(2y - 5) - 8y + 20$

Сначала сгруппируем последние два члена и вынесем за скобки их общий множитель. Общий множитель для $-8y$ и $20$ равен $-4$.

$x^2(2y - 5) - 4(2y - 5)$

Теперь в выражении есть общий множитель $(2y - 5)$. Вынесем его за скобки:

$(2y - 5)(x^2 - 4)$

Выражение $(x^2 - 4)$ является разностью квадратов ($x^2$ и $2^2$). Разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

В итоге получаем следующее произведение:

$(2y - 5)(x - 2)(x + 2)$

Ответ: $(2y - 5)(x - 2)(x + 2)$.

в) $a^3 - 5a^2 - 4a + 20$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:

$(a^3 - 5a^2) + (-4a + 20)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $a^2$, а из второй $-4$.

$a^2(a - 5) - 4(a - 5)$

Теперь у нас появился общий множитель $(a - 5)$, который мы можем вынести за скобки:

$(a - 5)(a^2 - 4)$

Множитель $(a^2 - 4)$ представляет собой разность квадратов. Разложим его на множители:

$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$

Окончательный результат разложения на множители:

$(a - 5)(a - 2)(a + 2)$

Ответ: $(a - 5)(a - 2)(a + 2)$.

г) $x^3 - 4x^2 - 9x + 36$

Применим метод группировки для разложения этого многочлена на множители. Сгруппируем члены попарно:

$(x^3 - 4x^2) + (-9x + 36)$

Вынесем общие множители из каждой скобки. Из первой группы выносим $x^2$, из второй $-9$.

$x^2(x - 4) - 9(x - 4)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - 4)$:

$(x - 4)(x^2 - 9)$

Выражение $(x^2 - 9)$ является разностью квадратов ($x^2$ и $3^2$). Разложим его по формуле:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$

Таким образом, мы получаем итоговое произведение:

$(x - 4)(x - 3)(x + 3)$

Ответ: $(x - 4)(x - 3)(x + 3)$.