Номер 1009, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1009, страница 197.

Условие.

1009. Преобразуйте в произведение выражение:

а) $9c^{15} - c^{13};$

б) $x^{22} - \frac{1}{49}x^{20};$

в) $a^5 - 0.64a^2;$

г) $y^7 - 1\frac{7}{9}y^5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для преобразования выражения $9c^{15} - c^{13}$ в произведение сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для $9c^{15}$ и $c^{13}$ является $c^{13}$, так как это наименьшая степень переменной $c$.

$9c^{15} - c^{13} = c^{13}(9c^{15-13} - c^{13-13}) = c^{13}(9c^2 - 1)$

Выражение в скобках, $9c^2 - 1$, представляет собой разность квадратов. Мы можем представить его в виде $(3c)^2 - 1^2$. Применим формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$9c^2 - 1 = (3c)^2 - 1^2 = (3c - 1)(3c + 1)$

Таким образом, исходное выражение полностью раскладывается на множители:

$c^{13}(3c - 1)(3c + 1)$

Ответ: $c^{13}(3c - 1)(3c + 1)$

б)

Для выражения $x^{22} - \frac{1}{49}x^{20}$ вынесем за скобки общий множитель. Для $x^{22}$ и $\frac{1}{49}x^{20}$ общим множителем является $x^{20}$ (наименьшая степень переменной $x$).

$x^{22} - \frac{1}{49}x^{20} = x^{20}(x^{22-20} - \frac{1}{49}) = x^{20}(x^2 - \frac{1}{49})$

Выражение в скобках, $x^2 - \frac{1}{49}$, является разностью квадратов. Мы можем записать его как $x^2 - (\frac{1}{7})^2$. Используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$x^2 - (\frac{1}{7})^2 = (x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$

Следовательно, окончательное произведение имеет вид:

$x^{20}(x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$

Ответ: $x^{20}(x - \frac{1}{7})(x + \frac{1}{7})$

в)

Рассмотрим выражение $a^5 - 0,64a^2$. Найдем общий множитель для его членов. Общим множителем для $a^5$ и $0,64a^2$ является $a^2$.

Вынесем $a^2$ за скобки:

$a^5 - 0,64a^2 = a^2(a^{5-2} - 0,64) = a^2(a^3 - 0,64)$

Выражение в скобках $a^3 - 0,64$ не является ни разностью квадратов (из-за нечетной степени 3 у переменной $a$), ни разностью кубов, которую можно разложить на множители с рациональными коэффициентами (поскольку $\sqrt[3]{0,64}$ не является рациональным числом). Поэтому дальнейшее разложение стандартными методами невозможно. Выражение преобразовано в произведение двух множителей: $a^2$ и $(a^3 - 0,64)$.

Ответ: $a^2(a^3 - 0,64)$

г)

Рассмотрим выражение $y^7 - 1\frac{7}{9}y^5$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$

Теперь выражение имеет вид: $y^7 - \frac{16}{9}y^5$.

Вынесем общий множитель $y^5$ за скобки:

$y^7 - \frac{16}{9}y^5 = y^5(y^{7-5} - \frac{16}{9}) = y^5(y^2 - \frac{16}{9})$

Выражение в скобках, $y^2 - \frac{16}{9}$, является разностью квадратов, так как $y^2$ — это квадрат $y$, а $\frac{16}{9}$ — это квадрат $\frac{4}{3}$.

$y^2 - \frac{16}{9} = y^2 - (\frac{4}{3})^2$

Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$y^2 - (\frac{4}{3})^2 = (y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$

Полное разложение на множители выглядит так:

$y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$

Ответ: $y^5(y - \frac{4}{3})(y + \frac{4}{3})$