Номер 1014, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1014, страница 197.

Условие.

1014. Решите уравнение:

а) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0;$

б) $y^3 - y^2 = 16y - 16;$

в) $2y^3 - y^2 - 32y + 16 = 0;$

г) $4x^3 - 3x^2 = 4x - 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^3 - 2x^2 - x + 2 = 0$
Для решения уравнения применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$(x^3 - 2x^2) - (x - 2) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(x - 2)(x^2 - 1) = 0$
Выражение $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $(x - 1)(x + 1)$. Уравнение примет вид:
$(x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находим корни:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
Ответ: $-1; 1; 2$.

б) $y^3 - y^2 = 16y - 16$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю:
$y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(y^3 - y^2) - (16y - 16) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(y - 1)$ за скобки:
$(y - 1)(y^2 - 16) = 0$
Разложим второй множитель $(y^2 - 16)$ по формуле разности квадратов: $(y - 4)(y + 4)$. Уравнение примет вид:
$(y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:
$y - 1 = 0 \implies y = 1$
$y - 4 = 0 \implies y = 4$
$y + 4 = 0 \implies y = -4$
Ответ: $-4; 1; 4$.

в) $2y^3 - y^2 - 32y + 16 = 0$
Воспользуемся методом группировки слагаемых:
$(2y^3 - y^2) - (32y - 16) = 0$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$y^2(2y - 1) - 16(2y - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(2y - 1)$:
$(2y - 1)(y^2 - 16) = 0$
Разложим множитель $(y^2 - 16)$ по формуле разности квадратов: $(y - 4)(y + 4)$. Получим:
$(2y - 1)(y - 4)(y + 4) = 0$
Находим корни, приравнивая каждый множитель к нулю:
$2y - 1 = 0 \implies y = \frac{1}{2}$
$y - 4 = 0 \implies y = 4$
$y + 4 = 0 \implies y = -4$
Ответ: $-4; \frac{1}{2}; 4$.

г) $4x^3 - 3x^2 = 4x - 3$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$4x^3 - 3x^2 - 4x + 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(4x^3 - 3x^2) - (4x - 3) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(4x - 3) - 1(4x - 3) = 0$
Вынесем общий множитель $(4x - 3)$ за скобки:
$(4x - 3)(x^2 - 1) = 0$
Разложим множитель $(x^2 - 1)$ по формуле разности квадратов: $(x - 1)(x + 1)$. Получим уравнение:
$(4x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0$
Приравнивая каждый множитель к нулю, находим корни:
$4x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{4}$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$x + 1 = 0 \implies x = -1$
Ответ: $-1; \frac{3}{4}; 1$.