Номер 1023, страница 198 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1023, страница 198.

Условие.

1023. Делится ли на 5 при любом целом $n$ выражение:

a) $(2n + 3)(3n - 7) - (n + 1)(n - 1);$

б) $(7n + 8)(n - 1) + (3n - 2)(n + 2)?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы определить, делится ли выражение на 5, упростим его.
Раскроем скобки:
$(2n + 3)(3n - 7) - (n + 1)(n - 1) = (2n \cdot 3n - 7 \cdot 2n + 3 \cdot 3n - 3 \cdot 7) - (n^2 - 1^2) = (6n^2 - 14n + 9n - 21) - (n^2 - 1) = 6n^2 - 5n - 21 - n^2 + 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$(6n^2 - n^2) - 5n + (-21 + 1) = 5n^2 - 5n - 20$.
Теперь вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5(n^2 - n - 4)$.
Поскольку $n$ — целое число, то выражение в скобках $(n^2 - n - 4)$ также является целым числом. Обозначим его как $k$. Тогда исходное выражение равно $5k$. Любое число вида $5k$, где $k$ — целое, по определению делится на 5.
Следовательно, данное выражение делится на 5 при любом целом $n$.
Ответ: да, делится.

б) Упростим данное выражение.
Раскроем скобки:
$(7n + 8)(n - 1) + (3n - 2)(n + 2) = (7n \cdot n - 7n \cdot 1 + 8 \cdot n - 8 \cdot 1) + (3n \cdot n + 3n \cdot 2 - 2 \cdot n - 2 \cdot 2) = (7n^2 - 7n + 8n - 8) + (3n^2 + 6n - 2n - 4)$.
Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:
$(7n^2 + n - 8) + (3n^2 + 4n - 4)$.
Снова раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$7n^2 + n - 8 + 3n^2 + 4n - 4 = (7n^2 + 3n^2) + (n + 4n) + (-8 - 4) = 10n^2 + 5n - 12$.
Чтобы проверить делимость на 5, представим выражение в виде:
$10n^2 + 5n - 12 = 5(2n^2 + n) - 12$.
Первое слагаемое $5(2n^2 + n)$ делится на 5 при любом целом $n$, так как содержит множитель 5. Второе слагаемое, $-12$, не делится на 5. Сумма числа, делящегося на 5, и числа, не делящегося на 5, не делится на 5.
Для проверки можно подставить любое целое значение $n$. Например, при $n=1$:
$10(1)^2 + 5(1) - 12 = 10 + 5 - 12 = 3$.
Число 3 не делится на 5. Следовательно, выражение не делится на 5 при любом целом $n$.
Ответ: нет, не делится.