Номер 1001, страница 196 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 14. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1001, страница 196.

Условие.

1001. Докажите тождество:

a) $(a + b)^2 (a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b) = (a - b)^3;$

б) $(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b) = (a + b)^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. В выражении $(a + b)^2(a - b) - 2ab(b - a) - 6ab(a - b)$ заметим, что $b - a = -(a - b)$.

Подставим это в выражение:

$(a + b)^2(a - b) - 2ab(-(a - b)) - 6ab(a - b) = (a + b)^2(a - b) + 2ab(a - b) - 6ab(a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)((a + b)^2 + 2ab - 6ab)$

Раскроем скобки $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и упростим выражение во второй скобке:

$(a - b)(a^2 + 2ab + b^2 + 2ab - 6ab)$

Приведем подобные слагаемые:

$(a - b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Выражение во второй скобке является формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Таким образом, получаем:

$(a - b)(a - b)^2 = (a - b)^3$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Преобразуем левую часть тождества $(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-a - b)$. Заметим, что $-a - b = -(a + b)$.

Подставим это в выражение:

$(a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) - 2ab(-(a + b)) = (a + b)(a - b)^2 + 2ab(a + b) + 2ab(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)((a - b)^2 + 2ab + 2ab)$

Раскроем скобки $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и упростим выражение во второй скобке:

$(a + b)(a^2 - 2ab + b^2 + 2ab + 2ab)$

Приведем подобные слагаемые:

$(a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$

Выражение во второй скобке является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Таким образом, получаем:

$(a + b)(a + b)^2 = (a + b)^3$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.