Номер 949, страница 189 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 949, страница 189.

Условие.

949. Решите уравнение:

а) $x^3 - x = 0;$

б) $9x - x^3 = 0;$

в) $x^3 + x^2 = 0;$

г) $5x^4 - 20x^2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^3 - x = 0$
Для решения данного уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$
Выражение в скобках представляет собой формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Применим ее:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
Теперь уравнение имеет вид:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
$x_1 = 0$
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$
$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

б) $9x - x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(9 - x^2) = 0$
Выражение в скобках также является разностью квадратов: $9 - x^2 = 3^2 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$.
Уравнение принимает вид:
$x(3 - x)(3 + x) = 0$
Приравняем каждый множитель к нулю:
$x_1 = 0$
$3 - x = 0 \implies x_2 = 3$
$3 + x = 0 \implies x_3 = -3$
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 0, x_3 = 3$.

в) $x^3 + x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$
$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0$.

г) $5x^4 - 20x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $5x^2$ за скобки:
$5x^2(x^2 - 4) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов: $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
Уравнение принимает вид:
$5x^2(x - 2)(x + 2) = 0$
Приравняем множители, содержащие переменную, к нулю (поскольку $5 \neq 0$):
$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$
$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$
$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$
Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.