Номер 942, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 942, страница 188.

Условие.

942. Разложите на множители:

а) $4xy + 12y - 4x - 12$;

б) $60 + 6ab - 30b - 12a$;

в) $-abc - 5ac - 4ab - 20a$;

г) $a^3 + a^2b + a^2 + ab$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения на множители выражения $4xy + 12y - 4x - 12$ применим метод группировки слагаемых. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.

$(4xy + 12y) + (-4x - 12)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $4y$, а во второй группе вынесем за скобки $-4$.

$4y(x + 3) - 4(x + 3)$

Теперь мы видим, что у обеих групп появился общий множитель в виде скобки $(x + 3)$. Вынесем его за скобки.

$(x + 3)(4y - 4)$

В выражении во второй скобке $(4y - 4)$ можно вынести за скобку общий множитель 4.

$(x + 3) \cdot 4(y - 1)$

Запишем множители в стандартном порядке.

$4(x + 3)(y - 1)$

Ответ: $4(x + 3)(y - 1)$

б) Для разложения на множители выражения $60 + 6ab - 30b - 12a$ переставим слагаемые для удобства группировки.

$6ab - 30b - 12a + 60$

Сгруппируем слагаемые попарно: первое со вторым и третье с четвертым.

$(6ab - 30b) + (-12a + 60)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $6b$, во второй — $-12$.

$6b(a - 5) - 12(a - 5)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a - 5)$.

$(a - 5)(6b - 12)$

Во второй скобке $(6b - 12)$ вынесем за скобку общий множитель 6.

$(a - 5) \cdot 6(b - 2)$

Запишем множители в стандартном порядке.

$6(a - 5)(b - 2)$

Ответ: $6(a - 5)(b - 2)$

в) Рассмотрим выражение $-abc - 5ac - 4ab - 20a$.

Заметим, что все слагаемые содержат общий множитель $-a$. Вынесем его за скобки.

$-a(bc + 5c + 4b + 20)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках $bc + 5c + 4b + 20$ методом группировки.

$(bc + 5c) + (4b + 20)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $c$ из первой и $4$ из второй.

$c(b + 5) + 4(b + 5)$

Вынесем общий множитель $(b + 5)$ за скобки.

$(b + 5)(c + 4)$

Вернемся к исходному выражению, подставив полученное разложение.

$-a(b + 5)(c + 4)$

Ответ: $-a(b + 5)(c + 4)$

г) Рассмотрим выражение $a^3 + a^2b + a^2 + ab$.

Во всех слагаемых есть общий множитель $a$. Вынесем его за скобки.

$a(a^2 + ab + a + b)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках $a^2 + ab + a + b$ методом группировки.

$(a^2 + ab) + (a + b)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $a$ из первой и $1$ из второй.

$a(a + b) + 1(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки.

$(a + b)(a + 1)$

Подставим полученное разложение в исходное выражение и запишем множители в удобном порядке.

$a(a + 1)(a + b)$

Ответ: $a(a + 1)(a + b)$