Номер 940, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 940, страница 188.

Условие.

940. Разложите на множители выражение $x^6 - y^6$, представив его в виде:

а) разности квадратов;

б) разности кубов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Представим выражение $x^6 - y^6$ в виде разности квадратов. Для этого воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$.

$x^6 = (x^3)^2$

$y^6 = (y^3)^2$

Таким образом, исходное выражение можно записать как:

$x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^3$ и $b = y^3$:

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

Полученные множители являются разностью кубов и суммой кубов. Разложим их на множители, используя соответствующие формулы:

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Подставим эти разложения в наше выражение:

$x^6 - y^6 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)(x+y)(x^2 - xy + y^2)$

Сгруппировав множители, получим окончательный вид:

$x^6 - y^6 = (x-y)(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x-y)(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$.

б) Представим выражение $x^6 - y^6$ в виде разности кубов. Снова воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$.

$x^6 = (x^2)^3$

$y^6 = (y^2)^3$

Таким образом, исходное выражение можно записать как:

$x^6 - y^6 = (x^2)^3 - (y^2)^3$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x^2$ и $b = y^2$:

$(x^2)^3 - (y^2)^3 = (x^2 - y^2)((x^2)^2 + x^2y^2 + (y^2)^2) = (x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$

Теперь разложим на множители каждый из полученных сомножителей.

Первый множитель $(x^2 - y^2)$ раскладывается по формуле разности квадратов:

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

Второй множитель $(x^4 + x^2y^2 + y^4)$ разложим на множители методом выделения полного квадрата. Для этого прибавим и вычтем $x^2y^2$:

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2$

Мы получили разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy)$

Соберем все полученные множители вместе:

$x^6 - y^6 = (x-y)(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$

Ответ: $(x-y)(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$.