Номер 937, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 937, страница 188.

Условие.

937. Докажите тождество $a^8 - b^8 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть, чтобы она стала равна левой. Мы будем последовательно перемножать скобки, используя формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Правая часть тождества: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.

Шаг 1: Перемножим первые две скобки.

Используем формулу разности квадратов для $(a - b)(a + b)$:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

После этого всё выражение примет вид:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$

Шаг 2: Теперь перемножим первые две скобки получившегося выражения.

Снова применяем формулу разности квадратов, на этот раз для $(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$

Выражение упрощается до:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$

Шаг 3: Перемножим оставшиеся две скобки.

В третий раз применяем ту же формулу для $(a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$:

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^4)^2 - (b^4)^2 = a^8 - b^8$

В результате преобразований мы получили, что правая часть тождества равна $a^8 - b^8$, что в точности совпадает с левой частью.

Таким образом, тождество $a^8 - b^8 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$ доказано.

Ответ: Для доказательства тождества была преобразована его правая часть. Путем последовательного применения формулы разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ правая часть $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$ была приведена к виду $a^8 - b^8$, что равно левой части. Следовательно, тождество верно.