Номер 935, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Применение различных способов для разложения на множители. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 935, страница 188.

Условие.

935. Представьте в виде произведения:

а) $y^3 - y^5$;

б) $2x - 2x^3$;

в) $81x^2 - x^4$;

г) $4y^3 - 100y^5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) В выражении $y^3 - y^5$ необходимо представить его в виде произведения. Для этого сначала вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем для обоих членов является $y$ в наименьшей степени, то есть $y^3$.

$y^3 - y^5 = y^3(1) - y^3(y^2) = y^3(1 - y^2)$

Теперь выражение в скобках, $1 - y^2$, представляет собой разность квадратов, так как $1$ можно представить как $1^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a=1$, а $b=y$.

$1 - y^2 = (1 - y)(1 + y)$

Подставив это разложение в исходное выражение, получим окончательный вид произведения:

$y^3(1 - y)(1 + y)$

Ответ: $y^3(1 - y)(1 + y)$.

б) В выражении $2x - 2x^3$ найдем общий множитель. Для коэффициентов 2 и -2 общим множителем является 2. Для переменных $x$ и $x^3$ общим множителем является $x$. Таким образом, выносим за скобки $2x$.

$2x - 2x^3 = 2x(1 - x^2)$

Выражение в скобках $1 - x^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a=1$ и $b=x$.

$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$

В результате получаем произведение:

$2x(1 - x)(1 + x)$

Ответ: $2x(1 - x)(1 + x)$.

в) В выражении $81x^2 - x^4$ вынесем за скобки общий множитель $x^2$.

$81x^2 - x^4 = x^2(81 - x^2)$

Выражение в скобках $81 - x^2$ является разностью квадратов, так как $81 = 9^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a=9$ и $b=x$.

$81 - x^2 = (9 - x)(9 + x)$

Итоговое произведение:

$x^2(9 - x)(9 + x)$

Ответ: $x^2(9 - x)(9 + x)$.

г) В выражении $4y^3 - 100y^5$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для 4 и 100 равен 4. Общий множитель для $y^3$ и $y^5$ равен $y^3$. Таким образом, выносим за скобки $4y^3$.

$4y^3 - 100y^5 = 4y^3(1 - 25y^2)$

Выражение в скобках $1 - 25y^2$ является разностью квадратов, так как $1 = 1^2$ и $25y^2 = (5y)^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a=1$ и $b=5y$.

$1 - 25y^2 = (1 - 5y)(1 + 5y)$

Окончательный результат в виде произведения:

$4y^3(1 - 5y)(1 + 5y)$

Ответ: $4y^3(1 - 5y)(1 + 5y)$.