Номер 928, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Преобразование целого выражения в многочлен. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 928, страница 185.

Условие.

928. Упростите выражение:

a) $(y - 3)(y^2 + 9)(y + 3) - (2y^2 - y)^2 - 19;$

б) $(1 - a)(1 - a^2) + (1 + a)(1 + a^2) - 2a(1 + a)(a - 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для упрощения выражения $(y - 3)(y^2 + 9)(y + 3) - (2y^2 - y)^2 - 19$ выполним действия по шагам.

1. В первом слагаемом перегруппируем множители, чтобы использовать формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$:

$(y - 3)(y + 3)(y^2 + 9) = ((y)^2 - 3^2)(y^2 + 9) = (y^2 - 9)(y^2 + 9)$.

2. Снова применим формулу разности квадратов к полученному выражению:

$(y^2 - 9)(y^2 + 9) = (y^2)^2 - 9^2 = y^4 - 81$.

3. Раскроем второе слагаемое, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2y^2 - y)^2 = (2y^2)^2 - 2 \cdot (2y^2) \cdot y + y^2 = 4y^4 - 4y^3 + y^2$.

4. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(y^4 - 81) - (4y^4 - 4y^3 + y^2) - 19$.

5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^4 - 81 - 4y^4 + 4y^3 - y^2 - 19 = (y^4 - 4y^4) + 4y^3 - y^2 + (-81 - 19) = -3y^4 + 4y^3 - y^2 - 100$.

Ответ: $-3y^4 + 4y^3 - y^2 - 100$.

б)

Для упрощения выражения $(1 - a)(1 - a^2) + (1 + a)(1 + a^2) - 2a(1 + a)(a - 1)$ выполним действия по шагам.

1. Раскроем скобки в первых двух слагаемых:

$(1 - a)(1 - a^2) = 1 - a^2 - a + a^3$.

$(1 + a)(1 + a^2) = 1 + a^2 + a + a^3$.

2. Сложим эти два выражения:

$(1 - a^2 - a + a^3) + (1 + a^2 + a + a^3) = 1 + 1 - a + a - a^2 + a^2 + a^3 + a^3 = 2 + 2a^3$.

3. Упростим третье слагаемое. Заметим, что $(1 + a)(a - 1)$ является разностью квадратов $(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1$.

$-2a(1 + a)(a - 1) = -2a(a^2 - 1) = -2a \cdot a^2 - 2a \cdot (-1) = -2a^3 + 2a$.

4. Соберем все части вместе:

$(2 + 2a^3) + (-2a^3 + 2a) = 2 + 2a^3 - 2a^3 + 2a$.

5. Приведем подобные слагаемые:

$2 + (2a^3 - 2a^3) + 2a = 2 + 2a$.

Ответ: $2 + 2a$.