Номер 923, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Преобразование целого выражения в многочлен. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 923, страница 184.

Условие.

923. Докажите, что ни при каком целом n значение выражения $(2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13)$ не делится на 6.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать утверждение, необходимо сначала упростить данное алгебраическое выражение.

Исходное выражение: $(2n + 1)(n + 5) - 2(n + 3)(n - 3) - (5n + 13)$.

Шаг 1: Раскроем скобки в каждом слагаемом.

Для первого слагаемого $(2n + 1)(n + 5)$ выполним умножение многочленов:
$(2n + 1)(n + 5) = 2n \cdot n + 2n \cdot 5 + 1 \cdot n + 1 \cdot 5 = 2n^2 + 10n + n + 5 = 2n^2 + 11n + 5$.

Для второго слагаемого $2(n + 3)(n - 3)$ применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:
$2(n + 3)(n - 3) = 2(n^2 - 3^2) = 2(n^2 - 9) = 2n^2 - 18$.

Третье слагаемое — это просто раскрытие скобок с учётом знака минус:
$-(5n + 13) = -5n - 13$.

Шаг 2: Подставим полученные выражения в исходное и приведем подобные слагаемые.

$(2n^2 + 11n + 5) - (2n^2 - 18) - (5n + 13) = 2n^2 + 11n + 5 - 2n^2 + 18 - 5n - 13$.

Сгруппируем подобные члены:
$(2n^2 - 2n^2) + (11n - 5n) + (5 + 18 - 13) = 0 + 6n + 10 = 6n + 10$.

Шаг 3: Проанализируем полученное выражение $6n + 10$ на предмет делимости на 6.

По условию, $n$ — целое число.Слагаемое $6n$ всегда делится на 6 без остатка, так как является произведением целого числа $n$ и числа 6.Слагаемое 10 при делении на 6 даёт в остатке 4 ($10 = 6 \cdot 1 + 4$).

Следовательно, вся сумма $6n + 10$ при делении на 6 будет давать такой же остаток, как и 10, то есть 4.Это можно показать, представив выражение в виде $6n + 6 + 4 = 6(n+1) + 4$. Так как $n$ — целое, то $n+1$ тоже целое, и $6(n+1)$ делится на 6. Остаток от деления всего выражения на 6 равен 4.

Поскольку для делимости на 6 без остатка необходимо, чтобы остаток был равен 0, а у нас он всегда равен 4, то значение выражения $6n + 10$ не делится на 6 ни при каком целом значении $n$.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $6n + 10$. Для любого целого $n$ слагаемое $6n$ кратно 6, а слагаемое 10 при делении на 6 дает остаток 4. Таким образом, всё выражение при делении на 6 всегда дает остаток 4, а значит, не делится на 6 нацело.