Номер 929, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Преобразование целого выражения в многочлен. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 929, страница 185.

Условие.

929. Докажите тождество:

а) $(a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2;$

б) $(1 - 2b)(1 - 5b + b^2) + (2b - 1)(1 - 6b + b^2) = b(1 - 2b).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для доказательства тождества преобразуем отдельно его левую и правую части и сравним полученные выражения.

Сначала преобразуем левую часть равенства. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ (a - 3c)(4c + 2a) + 3c(a + 3c) = (a \cdot 4c + a \cdot 2a - 3c \cdot 4c - 3c \cdot 2a) + (3c \cdot a + 3c \cdot 3c) $
$ = (4ac + 2a^2 - 12c^2 - 6ac) + (3ac + 9c^2) $
$ = 2a^2 - 2ac - 12c^2 + 3ac + 9c^2 $
$ = 2a^2 + (3ac - 2ac) + (9c^2 - 12c^2) $
$ = 2a^2 + ac - 3c^2 $

Теперь преобразуем правую часть равенства:

$ (2a - c)(3c + 5a) - 8a^2 = (2a \cdot 3c + 2a \cdot 5a - c \cdot 3c - c \cdot 5a) - 8a^2 $
$ = (6ac + 10a^2 - 3c^2 - 5ac) - 8a^2 $
$ = 10a^2 + ac - 3c^2 - 8a^2 $
$ = (10a^2 - 8a^2) + ac - 3c^2 $
$ = 2a^2 + ac - 3c^2 $

Так как левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению $ 2a^2 + ac - 3c^2 $, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Заметим, что множители $ (1 - 2b) $ и $ (2b - 1) $ являются противоположными выражениями, так как $ (2b - 1) = -(1 - 2b) $.

Используем это свойство, чтобы вынести общий множитель $ (1 - 2b) $ за скобки:

$ (1 - 2b)(1 - 5b + b^2) + (2b - 1)(1 - 6b + b^2) = (1 - 2b)(1 - 5b + b^2) - (1 - 2b)(1 - 6b + b^2) $
$ = (1 - 2b) \cdot ((1 - 5b + b^2) - (1 - 6b + b^2)) $
Теперь упростим выражение во вторых скобках:
$ = (1 - 2b) \cdot (1 - 5b + b^2 - 1 + 6b - b^2) $
Приведем подобные слагаемые внутри скобок:
$ = (1 - 2b) \cdot ((-5b + 6b) + (b^2 - b^2) + (1 - 1)) $
$ = (1 - 2b) \cdot b $
$ = b(1 - 2b) $

В результате преобразования левой части мы получили выражение $ b(1 - 2b) $, которое в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.