Номер 927, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Преобразование целого выражения в многочлен. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 927, страница 185.

Условие.

927. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) $ (a - 1)(a^2 + 1)(a + 1) - (a^2 - 1)^2 - 2(a^2 - 3); $

б) $ (a^2 - 3)^2 - (a - 2)(a^2 + 4)(a + 2) - 6(5 - a^2). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо упростить его и показать, что в результате получится константа (число).

Исходное выражение: $(a - 1)(a^2 + 1)(a + 1) - (a^2 - 1)^2 - 2(a^2 - 3)$.

1. Упростим первую часть выражения $(a - 1)(a^2 + 1)(a + 1)$. Перегруппируем множители: $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)$.
Применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ для $(a - 1)(a + 1)$:
$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.
Теперь выражение выглядит так: $(a^2 - 1)(a^2 + 1)$.
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$.

2. Упростим вторую часть выражения $-(a^2 - 1)^2$. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a^2 - 1)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2 = a^4 - 2a^2 + 1$.
Тогда $-(a^2 - 1)^2 = -(a^4 - 2a^2 + 1) = -a^4 + 2a^2 - 1$.

3. Упростим третью часть выражения $-2(a^2 - 3)$. Раскроем скобки:
$-2(a^2 - 3) = -2a^2 + 6$.

4. Теперь сложим все упрощенные части:
$(a^4 - 1) + (-a^4 + 2a^2 - 1) + (-2a^2 + 6) = a^4 - 1 - a^4 + 2a^2 - 1 - 2a^2 + 6$.

5. Приведем подобные слагаемые:
$(a^4 - a^4) + (2a^2 - 2a^2) + (-1 - 1 + 6) = 0 + 0 + 4 = 4$.

Значение выражения равно 4, то есть является константой и не зависит от значения переменной $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: 4.

б)

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения переменной, необходимо упростить его и показать, что в результате получится константа (число).

Исходное выражение: $(a^2 - 3)^2 - (a - 2)(a^2 + 4)(a + 2) - 6(5 - a^2)$.

1. Упростим первую часть выражения $(a^2 - 3)^2$. Используем формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(a^2 - 3)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 3 + 3^2 = a^4 - 6a^2 + 9$.

2. Упростим вторую часть выражения $-(a - 2)(a^2 + 4)(a + 2)$. Перегруппируем множители: $-(a - 2)(a + 2)(a^2 + 4)$.
Применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ для $(a - 2)(a + 2)$:
$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
Теперь выражение выглядит так: $-(a^2 - 4)(a^2 + 4)$.
Снова применяем формулу разности квадратов:
$-( (a^2)^2 - 4^2 ) = -(a^4 - 16) = -a^4 + 16$.

3. Упростим третью часть выражения $-6(5 - a^2)$. Раскроем скобки:
$-6(5 - a^2) = -30 + 6a^2$.

4. Теперь сложим все упрощенные части:
$(a^4 - 6a^2 + 9) + (-a^4 + 16) + (-30 + 6a^2) = a^4 - 6a^2 + 9 - a^4 + 16 - 30 + 6a^2$.

5. Приведем подобные слагаемые:
$(a^4 - a^4) + (-6a^2 + 6a^2) + (9 + 16 - 30) = 0 + 0 + (25 - 30) = -5$.

Значение выражения равно -5, то есть является константой и не зависит от значения переменной $a$, что и требовалось доказать.

Ответ: -5.