Номер 931, страница 185 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Преобразование целого выражения в многочлен. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 931, страница 185.

Условие.

931. Разложите на множители:

а) $-20x^4y^2 - 35x^3y^3$;

б) $3a^3b^2c + 9ab^2c^3$;

в) $-1.2a^3b + 1.2b^4$;

г) $7.2x^4y^4 - 1.8x^4y^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы разложить на множители выражение $-20x^4y^2 - 35x^3y^3$, необходимо найти общий множитель и вынести его за скобки.
1. Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 20 и 35. НОД(20, 35) = 5. Поскольку оба члена отрицательны, удобно вынести за скобки -5.
2. Находим общие множители для переменных. Для переменной $x$ наименьшая степень в выражении – 3 ($x^3$), для переменной $y$ – 2 ($y^2$). Значит, общая часть для переменных – это $x^3y^2$.
3. Таким образом, общий множитель для всего выражения – это $-5x^3y^2$.
4. Выносим общий множитель за скобки. Для этого каждый член исходного многочлена делим на общий множитель:
$-20x^4y^2 : (-5x^3y^2) = 4x$
$-35x^3y^3 : (-5x^3y^2) = 7y$
В результате получаем: $-5x^3y^2(4x + 7y)$.
Ответ: $-5x^3y^2(4x + 7y)$

б) Рассмотрим выражение $3a^3b^2c + 9ab^2c^3$.
1. Находим НОД для коэффициентов 3 и 9. НОД(3, 9) = 3.
2. Находим общие множители для переменных. Для $a$ наименьшая степень – 1 ($a$), для $b$ – 2 ($b^2$), для $c$ – 1 ($c$). Общая часть для переменных: $ab^2c$.
3. Общий множитель для всего выражения: $3ab^2c$.
4. Выносим его за скобки:
$3a^3b^2c : (3ab^2c) = a^{3-1}b^{2-2}c^{1-1} = a^2$
$9ab^2c^3 : (3ab^2c) = 3a^{1-1}b^{2-2}c^{3-1} = 3c^2$
В результате получаем: $3ab^2c(a^2 + 3c^2)$.
Ответ: $3ab^2c(a^2 + 3c^2)$

в) Рассмотрим выражение $-1,2a^3b + 1,2b^4$.
1. Общий числовой коэффициент равен 1,2. Можно вынести $1,2$ или $-1,2$. Вынесем $-1,2$ для удобства, чтобы первый член в скобках был с положительным коэффициентом.
2. Общий множитель для переменных. Переменная $a$ есть только в первом члене. Переменная $b$ есть в обоих членах, наименьшая степень – 1 ($b$).
3. Общий множитель для всего выражения: $-1,2b$.
4. Выносим его за скобки:
$-1,2a^3b : (-1,2b) = a^3$
$1,2b^4 : (-1,2b) = -b^{4-1} = -b^3$
В результате получаем: $-1,2b(a^3 - b^3)$.
Ответ: $-1,2b(a^3 - b^3)$

г) Рассмотрим выражение $7,2x^4y^4 - 1,8x^4y^2$.
1. Находим НОД для коэффициентов 7,2 и 1,8. Так как $7,2 = 4 \cdot 1,8$, то НОД(7,2; 1,8) = 1,8.
2. Находим общие множители для переменных. Для $x$ степень одинакова – 4 ($x^4$), для $y$ наименьшая степень – 2 ($y^2$). Общая часть для переменных: $x^4y^2$.
3. Общий множитель для всего выражения: $1,8x^4y^2$.
4. Выносим его за скобки:
$7,2x^4y^4 : (1,8x^4y^2) = 4y^2$
$-1,8x^4y^2 : (1,8x^4y^2) = -1$
Получаем промежуточный результат: $1,8x^4y^2(4y^2 - 1)$.
5. Замечаем, что выражение в скобках $4y^2 - 1$ является разностью квадратов, так как его можно представить в виде $(2y)^2 - 1^2$.
6. Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$4y^2 - 1 = (2y - 1)(2y + 1)$
7. Окончательный вид разложения на множители: $1,8x^4y^2(2y - 1)(2y + 1)$.
Ответ: $1,8x^4y^2(2y-1)(2y+1)$