Номер 920, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Преобразование целого выражения в многочлен. Параграф 14. Преобразование целых выражений. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 920, страница 184.

Условие.

920. Преобразуйте в многочлен:

а) $4(m - n)^2 + 4m(m - n);$

б) $5x(x - y) - 2(y - x)^2;$

в) $(y + 7)^2 - 2(y + 10)(y + 4);$

г) $(x - 5)(6 + 4x) - 3(1 - x)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $4(m - n)^2 + 4m(m - n)$
Для преобразования выражения в многочлен, сначала раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для второго слагаемого применим распределительный закон умножения.
$4(m - n)^2 = 4(m^2 - 2mn + n^2) = 4m^2 - 8mn + 4n^2$
$4m(m - n) = 4m \cdot m - 4m \cdot n = 4m^2 - 4mn$
Теперь сложим полученные выражения:
$(4m^2 - 8mn + 4n^2) + (4m^2 - 4mn)$
Приведем подобные слагаемые:
$(4m^2 + 4m^2) + (-8mn - 4mn) + 4n^2 = 8m^2 - 12mn + 4n^2$
Ответ: $8m^2 - 12mn + 4n^2$

б) $5x(x - y) - 2(y - x)^2$
Обратим внимание, что $(y - x) = -(x - y)$, следовательно, $(y - x)^2 = (-(x - y))^2 = (x - y)^2$. Заменим это в исходном выражении:
$5x(x - y) - 2(x - y)^2$
Теперь раскроем скобки. Первое слагаемое по распределительному закону, второе — по формуле квадрата разности.
$5x \cdot x - 5x \cdot y - 2(x^2 - 2xy + y^2) = 5x^2 - 5xy - 2x^2 + 4xy - 2y^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(5x^2 - 2x^2) + (-5xy + 4xy) - 2y^2 = 3x^2 - xy - 2y^2$
Ответ: $3x^2 - xy - 2y^2$

в) $(y + 7)^2 - 2(y + 10)(y + 4)$
Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Для второго слагаемого перемножим два двучлена.
$(y + 7)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2 = y^2 + 14y + 49$
$(y + 10)(y + 4) = y \cdot y + y \cdot 4 + 10 \cdot y + 10 \cdot 4 = y^2 + 4y + 10y + 40 = y^2 + 14y + 40$
Подставим полученные выражения в исходное:
$(y^2 + 14y + 49) - 2(y^2 + 14y + 40)$
Раскроем скобки, умножив многочлен на $-2$:
$y^2 + 14y + 49 - 2y^2 - 28y - 80$
Приведем подобные слагаемые:
$(y^2 - 2y^2) + (14y - 28y) + (49 - 80) = -y^2 - 14y - 31$
Ответ: $-y^2 - 14y - 31$

г) $(x - 5)(6 + 4x) - 3(1 - x)^2$
Сначала выполним умножение двучленов и возведение в квадрат.
$(x - 5)(6 + 4x) = x \cdot 6 + x \cdot 4x - 5 \cdot 6 - 5 \cdot 4x = 6x + 4x^2 - 30 - 20x = 4x^2 - 14x - 30$
$(1 - x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 = 1 - 2x + x^2$
Подставим в исходное выражение:
$(4x^2 - 14x - 30) - 3(1 - 2x + x^2)$
Раскроем скобки, умножив многочлен на $-3$:
$4x^2 - 14x - 30 - 3 + 6x - 3x^2$
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 3x^2) + (-14x + 6x) + (-30 - 3) = x^2 - 8x - 33$
Ответ: $x^2 - 8x - 33$